UVa 1671 语言的历史——判断两个DFA是否等价

题意

一个DFA可以用一个5元组  $((Q, \sum , \delta , q_0, F))$ 表示，其中 $Q$ 为状态集，$\sum$ 为字母表，$\delta$ 为转移函数，$q_0$ 为起始状态，$F$ 为终态集。给出两个 DFA（有限状态自动机），判断他们是否等价。

分析

一个简单的做法：把 “a和b” 等价转化为 "a" 的补和 "b" 不相交，且 "b" 的补和 'a" 不相交。

如何求 DFA 的补？也就是把接受的串变成不接受的串，不接受的串变成接受的串。由此可想到，只需把终态和非终态互换即可。

如何判断两个 DFA 不相交？可试着找一个可同时被两个 DFA 接受的串，如果找不到，则说明两个 DFA 不相交。如何找到这个串？构造一个新的 DFA，它的每个状态都可以写成（$q_1, q_2$），其中 $q_1$ 和 $q_2$ 分别是两个 DFA 中的状态，当且仅当 $q_1$ 和 $q_2$ 分别是两个 DFA 的终态时，（$q_1, q_2$）是新DFA的终态。这样，问题转化为：找一个能被新DFA接受的串。只需要用经典的图的遍历（DFS 或 BFS）即可。

还有一个问题，对于“该转移不存在” 的处理。虽然可以直接处理，但更经典的做法是加一个“所有转移都指向自己“的”孤岛状态”，把所有不存在的转移都改成转移到孤岛。在下面的代码实现中，是将每个状态编号加1，留出状态0作为孤岛状态。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 2000 + 10;
const int max_siz = 26 + 5;
int siz, sta1, sta2, a1[maxn][max_siz], a2[maxn][max_siz];
bool vis[maxn][maxn];

bool judge(int x1, int x2)   //终态判定
{
    return a1[x1][0] ^ a2[x2][0];
}

bool dfs(int x1, int x2)   //存在公共串返回true
{
    vis[x1][x2] = true;
    if(judge(x1, x2))  return true;

    for(int i = 1;i <= siz;i++)
    {
        int next1 = a1[x1][i], next2 = a2[x2][i];
        if(!vis[next1][next2])
        {
            if(dfs(next1, next2))
                return true;
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    int kase = 0;
    while(scanf("%d", &siz) == 1 && siz)
    {
        scanf("%d", &sta1);
        for(int i = 1;i <= sta1;i++)
            for(int j = 0;j <= siz;j++)
            {
                int tmp;
                scanf("%d", &tmp);
                a1[i][j] = tmp+(j!=0);
            }

        scanf("%d", &sta2);
        for(int i = 1;i <= sta2;i++)
            for(int j = 0;j <= siz;j++)
            {
                int tmp;
                scanf("%d", &tmp);
                a2[i][j] = tmp+(j!=0);
            }


        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        printf("Case #%d: ", ++kase);
        if(dfs(1, 1))  printf("No\n");
        else  printf("Yes\n");
    }
}

参考链接：

1. https://www.luogu.org/problemnew/solution/UVA1671

2. https://blog.csdn.net/programmerya/article/details/81350287