[BJOI2018]二进制 题解

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题目描述：

pupil 发现对于一个十进制数，无论怎么将其的数字重新排列，均不影响其是不是 的倍数。他想研究对于二进制，是否也有类似的性质。
于是他生成了一个长为n 的二进制串，希望你对于这个二进制串的一个子区间，能求出其有多少位置不同的连续子串，满足在重新排列后（可包含前导0）是一个3 的倍数。
两个位置不同的子区间指开始位置不同或结束位置不同。
由于他想尝试尽量多的情况，他有时会修改串中的一个位置，并且会进行多次询问。

首先考虑一个子问题：判断一个子串是否满足条件。
首先，二进制化为十进制的方法是对应位×位权。
可以发现，位权\(mod3\)的值是\(1,2,1,2\)交替。
设这个子串有x个1放在2上，y个放在1上，则应满足\((2x+y)mod3=0\)，即\(x=y(mod3)\)。
设该子串长度为len，有s个1。
那么，贪心的想，x和y相差0或3。
分情况讨论：

1. \(len\%2=0\)，\(s%2=0\)。需要满足\(s/2<=len/2\)，显然可以。
2. \(len%2=0\)，\(s%2=1\)。即\(x+y=s，x-y=3\)，解得\(x=(s+3)/2\)。需要满足\((s+3)/2<=len/2\)，即\(s<=len-3\)。
3. \(len%2=1\)，\(s%2=0\)。需要满足\(s/2<=(len-1)/2\)，显然可以。
4. \(len%2=1\)，\(s%2=1\)。同理，\(x=(s+3)/2\)。需要满足\((s+3)/2<=(len+1)/2\)，即\(s<=len-2\)。
   可以发现，s为偶数时一定可以。s为奇数时比较复杂，难以统计（因为即使len确定，满足要求的s有很多，无法进行区间合并）。
   考虑容斥，求不合法的。
   若不合法，则\(s%2=1\)。