扫描线的主要步骤就是先对于一个维度进行排序扫描，并用一些数据结构维护当前扫描线所产生的贡献。（一般是用离散化+线段树）
今天就用平面上的矩阵的周长并和面积并来讲一讲扫描线。
POJ1151——Atlantis（矩阵面积并）
我们考虑对于$y$轴从下至上扫描，每次看剩下的底边再乘上此次更新的高度，这样就可以
我们先按照$y$轴进行排序，然后对于$x$轴进行离散化，用线段树$cnt$保存这段区间内被完全覆盖了几次，$sum$保存这个区间内剩下底边的长度。
在扫描时，我们分类当前边是上位边还是下位边，若是上位边就对剩下区间进行覆盖，下位边则进行删除（即反着更新），然后从第二条扫描线开始统计答案即可
注：在代码实现方面，其实区间修改并没必要写$pushdown$函数，因为查询永远查的是$sum[1]$，而修改操作也一定是成对出现，并不需要把上面的信息处理到下面。
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> using namespace std; typedef long long ll; const double inf=2e9; const int N=102000; int n; struct Point{ double x1,y1,x2,y2; }a[N]; struct Line{ double y; int flag,id;//flag=1:下位边 flag=-1:上位边 bool operator < (const Line &rhs) const{ return y<rhs.y; } Line(){} Line(double y,int flag,int id):y(y),flag(flag),id(id){} }li[N*2]; double t[N*2],sum[N*8]; int cnt[N*8];//有2*n个点 int v[N*2]; //没有访问区间，不需要pushdown void push_up(int x,int l,int r) { if(cnt[x]) sum[x]=t[r+1]-t[l]; else if (l==r) sum[x]=0; else sum[x]=sum[x+x]+sum[x+x+1]; } void update(int x,int l,int r,int L,int R,int upd) { if(L>R) return; if(L<=l&&r<=R) { cnt[x]+=upd; push_up(x,l,r);//之前sum直接更新，没有考虑0或1两种情况 return; } int mid=(l+r)>>1; if(mid>=L) update(x+x,l,mid,L,R,upd); if(mid<R) update(x+x+1,mid+1,r,L,R,upd); push_up(x,l,r); } void build(int x,int l,int r) { if(l==r) { sum[x]=0; cnt[x]=0; return; } int mid=(l+r)>>1; build(x+x,l,mid); build(x+x+1,mid+1,r); } void printans(double ans,int tot) { printf("Test case #%d\nTotal explored area: %.2f\n\n",tot,ans); } int tot=0; int main() { while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n) { double ans=0; tot++; for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%lf%lf%lf%lf",&a[i].x1,&a[i].y1,&a[i].x2,&a[i].y2); t[i*2-1]=a[i].x1; t[i*2]=a[i].x2; li[i*2-1]=Line(a[i].y1,1,i); li[i*2]=Line(a[i].y2,-1,i); } sort(t+1,t+2*n+1); sort(li+1,li+2*n+1); int m=unique(t+1,t+n+n+1)-t-1; for(int i=1;i<=n;i++) { a[i].x1=lower_bound(t+1,t+m+1,a[i].x1)-t; a[i].x2=lower_bound(t+1,t+m+1,a[i].x2)-t; } build(1,1,m-1); for(int i=1;i<=2*n;i++) { if(i>1&&li[i].y>li[i-1].y) { double delta=li[i].y-li[i-1].y; ans+=delta*sum[1]; } update(1,1,m-1,a[li[i].id].x1,a[li[i].id].x2-1,li[i].flag); //segtree里的i代表i~i+1区间 } printans(ans,tot); } return 0; }
洛谷P1856——[USACO5.5]矩形周长Picture（矩形周长并）
想法类似，但做法不同。
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我们还是考虑搜到每一条扫描线时的对答案的贡献，上、下位边都会有影响。
所以我们对每一条扫描线，在插入该线的前后都进行一次查询，两次剩余区间的长度之差就是该扫描线所产生的贡献。
因为有横线有竖线，所以我们对于$x,y$进行两轮扫描就可以啦~~（这道题不用离散化呦~）
注意点：可能会有两条扫描线重合，这在矩阵面积时不会产生影响，但在周长方面会产生影响。（因为可能一个矩形的上位边和一个矩形的下位边重合，我们如果顺序不当先扫到上位边，就会把原先覆盖的区间删掉，导致前后状态不同，答案更新；扫相同高度的另一个矩形的下位边时又因为区间被删掉了，再覆盖又更新了一次答案。本来上下位边重合不产生贡献，但我们这里产生了两次贡献，所以要改进一下）
我们在对扫描线进行排序时同时记录它是上位边还是下位边，作为第二关键字，使下位边排在前面就可以了
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> using namespace std; const int N=102000; int n; struct segtree{ int cnt,sum; }tree[N*8]; struct node{ int x1,y1,x2,y2; }a[N]; struct Line{ int val,flag; int lz,rz; Line(){ } Line(int val,int flag,int lz,int rz):val(val),flag(flag),lz(lz),rz(rz){ } bool operator < (const Line &rhs) const{ if(val!=rhs.val) return val<rhs.val; return flag>rhs.flag; } }X[2*N],Y[2*N]; void build(int x,int l,int r) { if(l==r) { tree[x].cnt=tree[x].sum=0; return; } int mid=l+r>>1; build(x+x,l,mid); build(x+x+1,mid+1,r); } void pushup(int x,int l,int r) { if(tree[x].cnt) tree[x].sum=r-l+1;//之前没+1 else tree[x].sum=tree[x+x].sum+tree[x+x+1].sum; } void update(int x,int l,int r,int L,int R,int upd) { if(L>R) return; if(L<=l&&r<=R) { tree[x].cnt+=upd; pushup(x,l,r); return; } int mid=(l+r)>>1; if(mid>=L) update(x+x,l,mid,L,R,upd); if(mid<R) update(x+x+1,mid+1,r,L,R,upd); pushup(x,l,r); } int _abs(int x) { if(x<0) x=-x; return x; } int main() { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d%d%d%d",&a[i].x1,&a[i].y1,&a[i].x2,&a[i].y2); a[i].x1+=N; a[i].x2+=N; a[i].y1+=N; a[i].y2+=N; X[i*2-1]=Line(a[i].x1,1,a[i].y1,a[i].y2); X[i*2]=Line(a[i].x2,-1,a[i].y1,a[i].y2);//heng Y[i*2-1]=Line(a[i].y1,1,a[i].x1,a[i].x2); Y[i*2]=Line(a[i].y2,-1,a[i].x1,a[i].x2);//shu } int ans=0; int m=N+N; build(1,1,m); sort(X+1,X+n+n+1); for(int i=1;i<=n+n;i++) { int last=tree[1].sum; update(1,1,m,X[i].lz,X[i].rz-1,X[i].flag);//区间！要rz-1 int now=tree[1].sum; ans+=_abs(now-last); } build(1,1,m); sort(Y+1,Y+n+n+1); for(int i=1;i<=n+n;i++) { int last=tree[1].sum; update(1,1,m,Y[i].lz,Y[i].rz-1,Y[i].flag);//区间！要rz-1 int now=tree[1].sum; ans+=_abs(now-last); } cout<<ans<<endl; return 0; }