【JZOJ4474】【luoguP4071】排列计数

description

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：
(1)1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次
(2)若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的
满足条件的序列可能很多，序列数对 10^9+7 取模。

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analysis

• 首先\(n\)个里有\(m\)个稳定但不确定顺序，所以有\(C^{m}_{n}\)种方案

• 剩下\(n-m\)个数一定不放在它们数值的位置上，那么就是\(n-m\)个数错排的方案数

• 设\(f[i]\)表示\(i\)个数错排的方案数，现在要再插入一个数\(n\)，前面\(n-1\)个数已经错排

• \(n\)肯定不能放到第\(n\)位，只能放其他\(n-1\)位

• 如果把\(n\)插到第某\(k\)位且\(k\)放到\(n\)位，那么剩下\(n-2\)个数仍错排

• 如果把\(n\)插到第某\(k\)位且\(k\)不放到\(n\)位，那么除了\(n\)还有\(n-1\)个数还要错排

• 由于\(k\)有\(n-1\)种可能，那么\(f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2])\)

• 如此便解决问题，答案为\(C^{m}_{n}*f[n-m]\)

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code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define MAX 1000000
#define mod 1000000007
#define ll long long
#define reg register ll
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)

using namespace std;

ll f[MAX+5],fac[MAX+5],inv[MAX+5];
ll n,m,T;

inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
inline ll pow(ll x,ll y)
{
    ll z=1;
    while (y)
    {
        if (y%2)z=z*x%mod;
        x=x*x,y>>=1;
    }
    return z;
}
inline ll C(ll m,ll n)
{
    return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main()
{
    freopen("permutation.in","r",stdin);
    freopen("permutation.out","w",stdout);
    f[0]=1,f[1]=0,f[2]=1,fac[0]=1,inv[0]=inv[1]=1;
    fo(i,1,MAX)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    fo(i,2,MAX)inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    fo(i,2,MAX)inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;
    fo(i,3,MAX)f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2])%mod;
    T=read();
    while (T--)
    {
        n=read(),m=read();
        printf("%lld\n",C(m,n)*f[n-m]%mod);
    }
    return 0;
}