洛谷P4071 [SDOI2016] 排列计数 [组合数学]

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排列计数

题目描述

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：

1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次

若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的

满足条件的序列可能很多，序列数对 $10^9+7$ 取模。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行一个数 T，表示有 T 组数据。

接下来 T 行，每行两个整数 n、m。

 

输出格式：

 

输出 T 行，每行一个数，表示求出的序列数

 

输入输出样例

输入样例#1： 

5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000

输出样例#1： 

0
1
20
578028887
60695423

说明

测试点 1 ~ 3： $T=1000，n \leq 8，m \leq 8$；

测试点 4 ~ 6： $T=1000，n \leq 12，m \leq 12$；

测试点 7 ~ 9： $T=1000，n \leq 100，m \leq 100$；

测试点 10 ~ 12：$T=1000，n \leq 1000，m \leq 1000$；

测试点 13 ~ 14：$T=500000，n \leq 1000，m \leq 1000$；

测试点 15 ~ 20：$T=500000，n \leq 1000000，m \leq 1000000$

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　　分析：

　　一道组合数、错排公式的模板。

　　很显然可以推出公式是$D_{n-m} \times C^m_n$，那么我们只要预处理即可。

　　错排公式的递推式：$D_n=(n-1) \times (D_{n-1}+D_{n-2})$，组合数的阶乘公式：$C^m_n=\frac{n!}{m! \times (n-m)!}$。

　　只要预处理$D$数组和数据范围内所有数的阶乘$jc[i]$以及$jc[i]$的逆元$ny[i]$即可。这里求逆元可以直接费马小定理，因为模数是质数。

　　Code：

　　

//It is made by HolseLee on 14th Sep 2018
//Luogu.org P4071
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=1e6+7;
const ll mod=1e9+7;
int T,n,m;
ll jc[N],ny[N],d[N];

template<typename re>
inline void read(re &x)
{
    x=0; char ch=getchar(); bool flag=false;
    while( ch<'0' || ch>'9' ) {
        if( ch=='-' ) flag=true; ch=getchar();
    }
    while( ch>='0' && ch<='9' ) {
        x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();
    }
    flag ? x=-x : 1 ;
}

inline ll power(ll x,ll y)
{
    ll ret=1;
    while( y ) {
        if( y&1 ) ret=(ret*x)%mod;
        y>>=1, x=(x*x)%mod;
    }
    return ret;
}

void ready()
{
    d[1]=0, d[2]=1, jc[1]=1, ny[1]=1;
    for(int i=3; i<N; ++i) d[i]=((i-1)*(d[i-1]+d[i-2])+mod)%mod;
    for(int i=2; i<N; ++i) {
        jc[i]=((jc[i-1]*i)+mod)%mod;
        ny[i]=power(jc[i],mod-2);
    }
}

int main()
{
    read(T); ready();
    while( T-- ) {
        read(n), read(m);
        if( m==n ) puts("1"); 
        else if( m>n ) puts("0");
        else if( m==0 ) printf("%lld\n",d[n]);
        else {
            printf("%lld\n",((d[n-m]*(ny[m]*ny[n-m]%mod))%mod*jc[n])%mod);
        }
    }
    return 0;
}