图的强连通问题

图的强连通问题

——求强连通分量个数，找出每个最大强连通子图。

三种算法，Tarjan、Kosaraju、Garbow。先说Tarjan。

Tarjan

 1 #include<algorithm>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<stack>
 6 using namespace std;
 7 const int maxv= 110;
 8 const int maxe= 5010;  //可能的最大值
 9 
10 struct ENode
11 {
12     int to;
13     int Next;
14 };
15 ENode edegs[maxe];
16 int Head[maxv], tnt;
17 void init()
18 {
19     memset(Head, -1, sizeof(Head));
20     tnt= -1;
21 }
22 void Add_ENode (int a, int b)
23 {
24     ++ tnt;
25     edegs[tnt].to= b;
26     edegs[tnt].Next= Head[a];
27     Head[a]= tnt;
28 }
29 
30 int dfn[maxn];  //深度优先搜索中顶点被访问的时间
31 int low[maxn];  //顶点v 和它的邻接点中low[]的最小值
32 int temp[maxn];  //判断节点是否已被访问过(0-未访问 1-已访问未删除 2-已访问已删除)
33 int Stack[maxn];  //手动栈
34 int TarBfs (int v, int lay, int &scc_num)
35 {
36     /*v: 新加入的点; lay: 时间戳; scc_num: 记录强连通分量的数量*/
37 
38     /*第2步：初始化dfn[v]和low[v]*/
39     temp[v]= 1;
40     low[v]= lay;
41     dfn[v]= lay;
42     Stack[++ m]= k;
43     for (int k= Head[v]; k!= -1; k= edegs[k].Next)
44     {
45         /*对于v 的所有邻接节点u：*/
46         int u= edegs[k].to;
47         if (temp[u]== 0)
48         {
49             /*第2-1步：如果没有访问过，则跳转执行第2步，同时维护low[v]*/
50             TarBfs(u, ++ lay, scc_num);
51         }
52         if (temp[u]== 1)
53         {
54             /*第2-2步：如果访问过，但没有删除，维护low[v]*/
55             low[v]= min(low[v], low[u]);
56         }
57     }
58     if (dfn[v]== low[v])
59     {
60         /*如果low[v]== dfn[v]，则当前节点是一个强连通分量的根，
61         那么输出相应的强连通分量。*/
62         ++ scc_num;
63         do
64         {
65             low[Stack[m]]= scc_num;
66             temp[Stack[m]]= 2;  //已删除的节点temp更新为2
67         }while (Stack[m --]!= k);
68     }
69     return 0;
70 }
71 
72 int Tarjan(int n)
73 {
74     int scc_num= 0, lay= 1;
75     m= 0;
76     memset(temp, 0, sizeof(temp));
77     memset(low, 0, sizeof(low));
78     for (int i= 1; i<= n; i ++)
79     {
80         if (temp[i]== 0)
81         {
82             /*第1步：找一个没有被访问过的节点v，否则算法结束*/
83             TarBfs(i, lay, scc_num);
84         }
85     }
86     /*返回强连通分量的个数*/
87     return scc_num;
88 }
89 
90 int main()
91 {
92     int n;
93     /*建图*/
94     int ans= Tarjan(n);
95     return 0;
96 }

只求个数

思路：

　　如果对于原图进行深度优先搜索，由强连通分量定义可知，任何一个强连通分量是原图的深度优先搜索树的子树。那么，只要确定每个极大强连通子图（强连通分量子树）的根，然后根据这些根从数的最底层开始，一个一个地取出强连通分量即可。

　　对于确定强连通分量的根，这里维护两个数组，一个是dfn[ ]，一个是low[ ]，其中dfn[v ] 表示顶点v 被访问的时间，low[v ]为与顶点v 邻接的未删除的顶点u 的low[u ]与low[v ]的最小值（low[v ]初始化为dfn[v ] ）。如果发现一个点，low[v ]== dfn[v ] ，则该点就是一个强连通分量的根。

伪代码：

1.找一个没有被访问过的节点v，否则算法结束

2.初始化dfn[v]和low[v]。对于v 的所有邻接节点u：

①如果没有访问过，则跳转执行第2步，同时维护low[v]；

②如果访问过，但没有删除，维护low[v]；

如果low[v]== dfn[v]，则当前节点是一个强连通分量的根，那么输出相应的强连通分量。

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