2019杭电多校第二场

6595 Everything Is Generated In Equal Probability

题意

给定一个\(n\)，从\([1,n]\)中等概率取出一个数，再等概率生成一个\(n\)的全排列，再计算这个全排列的函数值，求这个函数值的期望。

函数表达为输入一个全排列，计算其逆序数，再等概率取出一个子序列(可以是空，可以是原序列)，递归计算该子序列的函数值，累加返回。

分析

• 暴力求出样例输出对应的分数，发现前三个答案就是\(\frac{0}{9}，\)\(\frac{3}{9}\)和\(\frac{8}{9}\)，然后瞎猜几个规律(\(\frac{n^2-1}{9}\))也许就过了...
• 正解和证明：

代码

6600 Just Skip The Problem

题意

通过询问确定一个数\(x\)，每次询问\(y_i\)，回答\(x\&y_i\)是否等于\(y_i\)，问最少询问次数的方案数。

分析

• 显然是每次询问确定一位是最优的，可以通过计算期望证明。

• 所以\(x\)有\(n\)位数，就是有\(n!\)种不同的询问排列来确定这个数。

• 当\(n>1e6+3\)时，\(n!\)肯定含有因子\(1e6+3\)，因此结果为0。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e6+3;
ll n;
int main(void){
    while(~scanf("%lld",&n)){
        //n>=1e6+3 n!肯定含有1e6+3这个因子，所以结果一定为0
        if(n>=1000003){
            printf("0\n");
            continue;
        }
        ll ans=1ll;
        for(ll i=2ll;i<=n;i++){
            ans=ans*i%mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

6601 Keen On Everything But Triangle

题意

给n个棍子，多次询问区间内能组成三角形的最大周长。

分析

• 如果不考虑不能组成三角形的情况，那么答案就是区间内前三大的值之和。

• 考虑有不能组合的情况，仍然是从大到小贪心地判断下一组能否组成三角形。

• 长度在1e9范围内，连续判断的次数不会超过44次。

• 证明就是斐波那契数列，假设连续的\(n\)个长度都不能组成三角形(1,1,10000000...这种肯定可以)，假设长度增长很慢，每次都只是刚好前两个木棍的和，那么这就是斐波那契数列，而第45项斐波那契数列已经超过了1e9

• 所以用主席树查询区间第k小。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mid (l+r)/2
typedef long long ll;
const int N=1e5+50;
int tr[N*30],sum[N*30],lr[N*30],rr[N*30];
int n,q,a[N],b[N],l,r;
int cnt;
int build(int l,int r){
    int rt=++cnt;
    sum[rt]=0;
    if(l==r){
        return rt;
    }
    lr[rt]=build(l,mid);
    rr[rt]=build(mid+1,r);
    return rt;
}
int update(int pre,int l,int r,int x){
    int rt=++cnt;
    lr[rt]=lr[pre];
    rr[rt]=rr[pre];
    sum[rt]=sum[pre]+1;
    if(l==r){
        return rt;
    }
    if(x<=mid){
        lr[rt]=update(lr[pre],l,mid,x);
    }else{
        rr[rt]=update(rr[pre],mid+1,r,x);
    }
    return rt;
}
int kth(int a,int b,int l,int r,int k){
    if(l>=r){
        return l;
    }
    int x=sum[lr[b]]-sum[lr[a]];
    if(k<=x){
        return kth(lr[a],lr[b],l,mid,k);
    }else{
        return kth(rr[a],rr[b],mid+1,r,k-x);
    }
}
int main(void){
    // freopen("in.txt","r",stdin);
    while(~scanf("%d%d",&n,&q)){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            b[i]=a[i];
        }
        //权值建树记得离散化
        sort(b+1,b+1+n);
        int m=unique(b+1,b+1+n)-b-1;
        //多组记得初始化
        cnt=0;
        //离散化后范围记得是m
        tr[0]=build(1,m);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            a[i]=lower_bound(b+1,b+1+m,a[i])-b;
            tr[i]=update(tr[i-1],1,m,a[i]);
        }
        while(q--){
            scanf("%d%d",&l,&r);
            int len=r-l+1;
            ll ans=-1;
            while(len>=3){
                int aa=b[kth(tr[l-1],tr[r],1,m,len)];
                int bb=b[kth(tr[l-1],tr[r],1,m,len-1)];
                int cc=b[kth(tr[l-1],tr[r],1,m,len-2)];
                if(aa>=bb+cc){
                    len--;
                    continue;
                }
                ans=1ll*aa+1ll*bb+1ll*cc;
                break;
            }
            printf("%lld\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}