2019年7月训练（贰）（暂）

2019-07-25

luogu P2341 [HAOI2006]受欢迎的牛+Tarjan小复习

Tarjan

何为强联通分量

有向图强连通分量：在有向图 $GG中，如果两个顶点V_i,V_jVi,Vj间（V_i>V_jVi>Vj）有一条从V_iVi到V_jVj的有向路径，同时还有一条从V_iVi到V_jVj的有向路径，则称两个顶点强连通。如果有向图GG的每两个顶点都强连通，称GG是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量。 ——百度百科$

事实上，你大概可以理解为：如果一个图的子图中，任意两点可以相互到达，那么这就组成了一个强联通分量。

如果还不理解怎么办？没关系，我们上图像来理解

如图，在这个有向图中，一共有 $\{1,2,3,4\},\{5\},\{6\}{1,2,3,4},{5},{6}三个强联通分量$

如何求强联通分量

我们需要两个非常重要的数组，在这里先说明一下

我们使用

(2)、将

(3)、遍历 $]dfn[]为00，即仍未访问过，那么就对点vv进行dfsdfs，然后low[u]=min\{low[u],low[v]\}low[u]=min{low[u],low[v]}$

(4)、假设我们已经

至此，

那么如果

再结合一下

这说明了

此时我们得到了一个强连通分量，把所有的u点以后压入栈中的点和u点一并弹出，将它们的

如果遍历到的这个点已经被遍历到了，那么看它当前有没有在 $]stack[]里,如果有那么low[u]=min\{low[u],low[v]\}low[u]=min{low[u],low[v]}$

如果已经被弹掉了，说明无论如何这个点也不能与

如果还在栈里，说明这个点肯定能到达

接下来，就是非 $(sang)(sang)常(xin)(xin)简(bing)(bing)单(kuang)(kuang)的手\%%过程了$

从节点 $11开始DFSDFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6u=6时，DFN[6]=LOW[6]DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=vu=v为止，\{6\}{6}为一个强连通分量。$

之后返回节点 $55,发现DFN[5]=LOW[5]DFN[5]=LOW[5]，于是我们又找到了一个新的强联通分量\{5\}{5}$

返回节点

继续回到节点 $11，最后访问节点22。访问边(2,4)(2,4)，44还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5LOW[2]=DFN[4]=5。返回11后，发现DFN[1]=LOW[1]DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量\{1,3,4,2\}{1,3,4,2}。$

至此， $tarjantarjan算法结束，我们找到了全部的33个强联通分量\{1,2,3,4\},\{5\},\{6\}{1,2,3,4},{5},{6}$

inline int tarjan(int u) 
{
    low[u]=dfn[u]=++dfn_sum;
    stack[top++]=u;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].to;
        if(dfn(v))
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
        else
        {
            tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
        }
    }
    if(low[u]==dfn[u])
    {
        int now=stack[--top];s_sum++;
        s[u]+=s_sum;
        while(now!=u)
        {
            s[now]=s_num;
            now=s[--top];
        }
    }
}

2019-07-25 23:38:32

未完