2.1 组合公式
1. C(m,n)=C(m,m-n)
2. C(m,n)=C(m-1,n)+C(m-1,n-1)
derangement D(n) = n!(1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n/n!)
= (n-1)(D(n-2) - D(n-1))
Q(n) = D(n) + D(n-1)
求和公式,k = 1..n
1. sum( k ) = n(n+1)/2
2. sum( 2k-1 ) = n^2
3. sum( k^2 ) = n(n+1)(2n+1)/6
4. sum( (2k-1)^2 ) = n(4n^2-1)/3
5. sum( k^3 ) = (n(n+1)/2)^2
6. sum( (2k-1)^3 ) = n^2(2n^2-1)
7. sum( k^4 ) = n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
8. sum( k^5 ) = n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)/12
9. sum( k(k+1) ) = n(n+1)(n+2)/3
10. sum( k(k+1)(k+2) ) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4
12. sum( k(k+1)(k+2)(k+3) ) = n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/5
2.2 排列组合生成
//gen_perm产生字典序排列 P(n,m) //gen_comb 产生字典序组合 C(n,m) //gen_perm_swap 产生相邻位对换全排列 P(n,n) //产生元素用 1..n 表示 //dummy 为产生后调用的函数,传入 a[]和 n,a[0]..a[n-1]为一次产生的结果 #define MAXN 100 int count; #include <iostream.h> void dummy(int* a,int n){ int i; cout<<count++<<": "; for (i=0;i<n-1;i++) cout<<a[i]<<' '; cout<<a[n-1]<<endl; } void _gen_perm(int* a,int n,int m,int l,int* temp,int* tag){ int i; if (l==m) dummy(temp,m); else for (i=0;i<n;i++) if (!tag[i]){ temp[l]=a[i],tag[i]=1; _gen_perm(a,n,m,l+1,temp,tag); tag[i]=0; } } void gen_perm(int n,int m){ int a[MAXN],temp[MAXN],tag[MAXN]={0},i; for (i=0;i<n;i++) a[i]=i+1; _gen_perm(a,n,m,0,temp,tag); } void _gen_comb(int* a,int s,int e,int m,int& count,int* temp){ int i; if (!m) dummy(temp,count); else for (i=s;i<=e-m+1;i++){ temp[count++]=a[i]; _gen_comb(a,i+1,e,m-1,count,temp); count--; } } void gen_comb(int n,int m){ int a[MAXN],temp[MAXN],count=0,i; for (i=0;i<n;i++) a[i]=i+1; _gen_comb(a,0,n-1,m,count,temp); } void _gen_perm_swap(int* a,int n,int l,int* pos,int* dir){ int i,p1,p2,t; if (l==n) dummy(a,n); else{ _gen_perm_swap(a,n,l+1,pos,dir); for (i=0;i<l;i++){ p2=(p1=pos[l])+dir[l]; t=a[p1],a[p1]=a[p2],a[p2]=t; pos[a[p1]-1]=p1,pos[a[p2]-1]=p2; _gen_perm_swap(a,n,l+1,pos,dir); } dir[l]=-dir[l]; } } void gen_perm_swap(int n){ int a[MAXN],pos[MAXN],dir[MAXN],i; for (i=0;i<n;i++) a[i]=i+1,pos[i]=i,dir[i]=-1; _gen_perm_swap(a,n,0,pos,dir); }
2.3 生成 gray 码
//生成 reflected gray code //每次调用 gray 取得下一个码 //000...000 是第一个码,100...000 是最后一个码 void gray(int n,int *code){ int t=0,i; for (i=0;i<n;t+=code[i++]); if (t&1) for (n--;!code[n];n--); code[n-1]=1-code[n-1]; }
2.4 置换(polya)
//求置换的循环节,polya 原理 //perm[0..n-1]为 0..n-1 的一个置换(排列) //返回置换最小周期,num 返回循环节个数 #define MAXN 1000 int gcd(int a,int b){ return b?gcd(b,a%b):a; } int polya(int* perm,int n,int& num){ int i,j,p,v[MAXN]={0},ret=1; for (num=i=0;i<n;i++) if (!v[i]){ for (num++,j=0,p=i;!v[p=perm[p]];j++) v[p]=1; ret*=j/gcd(ret,j); } return ret; }
2.5 字典序全排列
//字典序全排列与序号的转换 int perm2num(int n,int *p){ int i,j,ret=0,k=1; for (i=n-2;i>=0;k*=n-(i--)) for (j=i+1;j<n;j++) if (p[j]<p[i]) ret+=k; return ret; } void num2perm(int n,int *p,int t){ int i,j; for (i=n-1;i>=0;i--) p[i]=t%(n-i),t/=n-i; for (i=n-1;i;i--) for (j=i-1;j>=0;j--) if (p[j]<=p[i]) p[i]++; }
2.6 字典序组合
//字典序组合与序号的转换 //comb 为组合数 C(n,m),必要时换成大数,注意处理 C(n,m)=0|n<m int comb(int n,int m){ int ret=1,i; m=m<(n-m)?m:(n-m); for (i=n-m+1;i<=n;ret*=(i++)); for (i=1;i<=m;ret/=(i++)); return m<0?0:ret; 58 } int comb2num(int n,int m,int *c){ int ret=comb(n,m),i; for (i=0;i<m;i++) ret-=comb(n-c[i],m-i); return ret; } void num2comb(int n,int m,int* c,int t){ int i,j=1,k; for (i=0;i<m;c[i++]=j++) for (;t>(k=comb(n-j,m-i-1));t-=k,j++); }