【算法•日更•第十四期】信息奥赛一本通1592：【例 1】国王题解

　　废话不多说，直接上题：

1592：【例 1】国王

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【题目描述】

原题来自：SGU 223

在 $n \times n$

【输入】

只有一行，包含两个整数 $n$

【输出】

每组数据一行为方案总数，若不能够放置则输出 $0$

【输入样例】

3 2

【输出样例】

【提示】

样例输入 2

4 4

样例输出 2

数据范围与提示：

对于全部数据， $1 \leq n \leq 10, 0 \leq k \leq n^{2}$

【来源】

无

　　不得不说，这道题太像还是n皇后了。详见此题链接：戳这里哦~

　　只不过是皇后变成了国王、地图上没有了坑而已。

　　不过我们可以先看一看数据规模，我一下子就被惊到了。n只有10，k只有100，但是虽然数据小，但是搜索要真的一个一个搜起来，那可就真的是指数级复杂度，肯定不行。

　　于是我们就不得不选择优化，这道题属于状态压缩类动态规划，在不久前小编就已经使用过了，其实说白了就是使用二进制优化。

　　众所周知，二进制是这样的：1010110，一堆0和1，但是如果你的地图是由0、1组成的，那么就可以这样优化。

　　图解一下：

　　其实是从一本通提高篇上copy下来的。

　　那么一行的数据就浓缩成一个数了，那么我们在处理1时就只要用lowbit原理x&-x就可以找到最高位的1了（别问我为什么，别的大佬都不太清楚)。

　　好了，回归正题，这道题是动态规划题，那么怎样设计状态呢？

　　我们要在n*n的棋盘上放k个国王，那么我们不妨用f[i][j][k]来表示第i行的状态是a[j]（二进制表示），目前为止放了k个棋子。

　　显然f[i][j][k]=sum{i-1,l,k-num[j]}(不发生冲突)，其中l是，枚举上一行状态的变量，num[j]是a[j]这一状态可以放置的国王数。

　　行了，其他的都看注释吧，要不然不好解释，代码如下：

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 long long n,K,num[1000],a[1000],sum,ans,f[300][300][300];
 4 void pre()
 5 {
 6     int cnt=0;//记录方案数 
 7     for(int i=0;i<(1<<n);i++)//注意，这里模拟的是一行的所有状态，而不是行数 
 8     {
 9         if(i&(i<<1)) continue;//如果结果不是0，那么就会有1是挨着的，不合法 
10         cnt=0;
11         for(int j=0;j<n;j++) if((1<<j)&i) cnt++;//如果i的二进制表示下的j位有1，那么就记录 
12         a[++sum]=i;//记录状态 
13         num[sum]=cnt;//记录可以放国王的数量 
14     }
15 }
16 void dp()
17 {
18     f[0][1][0]=1;//显然第0行第一位上可以放一个国王 
19     for(int i=1;i<=n;i++)
20     for(int j=1;j<=sum;j++)
21     for(int k=0;k<=K;k++)
22     {
23         if(k>=num[j])//先看能不能减 
24         for(int l=1;l<=sum;l++)
25         if(!(a[l]&a[j]) && !(a[l]&(a[j]<<1)) && !(a[l]&(a[j]>>1)))//看看国王和上一行的国王起不起冲突 
26         f[i][j][k]+=f[i-1][l][k-num[j]];
27     }
28     for(int i=1;i<=sum;i++) ans+=f[n][i][K];//最后一行的所有状态都要加上 
29     cout<<ans;
30 }
31 int main()
32 {
33     cin>>n>>K;
34     pre();dp();
35     return 0;
36 }