2019.7.10 校内测试题 越狱

　题目

　　越狱(prison.cpp,1s,512MB)

【问题描述】:

　　监狱有连续编号为 1..n 的 n 个房间，每个房间关押一个犯人。有 m 种宗教，

每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人信仰的宗教相同，就可能发生

越狱。求有多少种状态可能发生越狱。

【输入文件】:

　　 输入两个整数 m 和 n，1≤m≤108，1≤n≤1012。

【输出文件】:

　　可能越狱的状态数，模 100003 取余。

【输入输出样例】：

　　prison.in

　　　　2 3

　　prison.out

　　　　6

【数据规模】:

　　6 种状态为：(000)(001)(011)(100)(110)(111)

考试得分：　　10

主要算法 ：　　同余（快速幂）

应试策略：

1. 　　首先想到DP，但是条件不允许呀，所以考虑一下的，DP不行，数论题就决定是它了
2.        总状态数位m^n，考虑不发生越狱的情况第一个有m种，第二个就有m-1种，那么第x个（x∈[2,n]）都为m-1种，那么总数为m*(m-1)^(n-1)种，那么符合条件的就是m^n-m*(m-1)^(n-1)
3.        那么最后输出的为pow（m,n,MOD）-m*pow(m-1,n-1,MOD)%MOD+MOD，需要考虑long long

　　 代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define LL long long 
#define FORa(i,s,e) for(LL i=s;i<=e;i++)
#define FORs(i,s,e) for(LL i=s;i>=e;i--)
#define gc pa==pb&&(pb=(pa=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),stdin)?EOF:*pa++
#define File(name) freopen(name".in","r",stdin);freopen(name".out","w",stdout);

using namespace std;
static char buf[100000],*pa=buf,*pb=buf;
inline LL read();

const LL MOD=100003;
LL m,n;
LL Quickpow(LL a,LL b,LL c)
{
    LL ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ret=ret*a%c;
        a=a*a%c,b>>=1; 
    }
    return ret%c;
}
int main()
{
    File("prison");
    m=read(),n=read();
    LL p=Quickpow(m,n,MOD)-(Quickpow(m-1,n-1,MOD)*m%MOD);
    printf("%lld",p%MOD);
    return 0;
}
inline LL read()
{
    register LL f(1),x(0);register char c(gc);
    while(c<'0'||c>'9') f=c=='-'?-1:1,c=gc;
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=gc;
    return f*x;
}

非完美算法：　　

　　　　照搬应试策略

正解：

　　　　因为取模运算的特殊性 ，所以Quickpow(m,n,MOD)-(Quickpow(m-1,n-1,MOD)*m%MOD)可能小于0，所有要先加上MOD再取模MOD，运用同余的同加性

总结：

1. 　　取模运算之间相减注意符号，运用同余的同加性