【图像处理】 最大类间方差算法（Otus算法）

Otsu算法的原理

最大类间方差法（Otus算法），可以自动的选取二值化的阈值。
它的原理如下：

1. 假设一副灰度图有 $L$个灰度级，即 $[1,2,3,...L]$ ，灰度级为 $i$的像素点有 $n_i$个，那么总的像素点个数 $N = n_1 + n_2 +...+n_l$。那么一个像素点灰度级为 $i$的概率为： $p_i = \dfrac{n_i}{N} (p_i>0，\displaystyle\sum_{i = 1}^{L}p_i = 1)$。
2. 现在假设通过一个灰度级 $k$将这些像素点划分为两类 $C_0$和 $C_1$， $[1,2,...k]$是 $C_0$，二值化为 $0$。 $[k+1,k+2,...L]$是 $C_1$，二值化为 $255$。Otsu算法就是自动的找到这个算法认为的最优的阈值 $k$。
3. $C_0$和 $C_1$两类，每一类出现的概率以及各类的平均灰度级分别由下面的式子给出：
   $\omega_0=P_r(C_0)=C_0类出现的概率=\displaystyle\sum_{i = 1}^{k}p_i = \omega(k)$
   $\omega_1=P_r(C_1)=C_1类出现的概率=\displaystyle\sum_{i = k+1}^{L}p_i =1- \omega(k)$
   $\mu_0=\displaystyle\sum_{i = 1}^{k}i*P_r( i|C_0)=\displaystyle\sum_{i = 1}^{k}i* \dfrac{p_i}{\omega_0}=C_0类的平均灰度级=\dfrac{\mu(k)}{\omega(k)}$
   $\mu_1=\displaystyle\sum_{i = k+1}^{L}i*P_r( i|C_1)=\displaystyle\sum_{i = k+1}^{L}i* \dfrac{p_i}{\omega_1}=C_1类的平均灰度级=\dfrac{\mu_T-\mu(k)}{1-\omega(k)}$
   其中：
   $\mu(k)=\displaystyle\sum_{i = 1}^{k}i*p_i$，是 $1到k$的平均灰度级。
   $\mu_T=\displaystyle\sum_{i = 1}^{L}i*p_i$，是整幅图的平均灰度级。
4. 容易验证：
   $\omega_0\mu_0+\omega_1\mu_1=\mu_T$， $\omega_0+\omega_1=1$
5. $C_0$和 $C_1$各自的类内方差如下：
   $\sigma_0^2=\displaystyle\sum_{i = 1}^{k}(i-\mu_0)^2P_r(i|C_0)=\displaystyle\sum_{i = 1}^{k}(i-\mu_0)^2\dfrac{p_i}{\omega_0}$
   $\sigma_1^2=\displaystyle\sum_{i = k+1}^{L}(i-\mu_1)^2P_r(i|C_1)=\displaystyle\sum_{i = k+1}^{L}(i-\mu_1)^2\dfrac{p_i}{\omega_1}$
6. 所以整幅图片的类内方差，两个类的类间方差，图片的总方差，分别如下：
   $\sigma_W^2=整幅图片的类内方差=\omega_0\sigma_0^2+\omega_1\sigma_1^2$
   $\sigma_B^2=两个类的类间方差=\omega_0(\mu_0-\mu_T)^2+\omega_1(\mu_1-\mu_T)^2$
   跟据4.中两个等式，可以将 $\sigma_B^2$化简为 $\omega_0\omega_1(\mu_1-\mu_0)^2$
   $\sigma_T^2=图片的总方差=\displaystyle\sum_{i = k+1}^{L}(i-\mu_T)^2p_i$
7. 因为 $\sigma_T^2$与 $k$无关。 $\sigma_W^2$是二阶统计（类方差），而 $\sigma_B^2$是一阶统计（类均值）。所以 $\sigma_B^2$，即类间方差是最简单的判断 $k$选取好坏的评判标准。
8. 所以Otus算法遍历 $k$，最后选取使 $\sigma_B^2$最大的 $k$作为阈值。

opencv中的Otsu算法

_, img = cv2.threshold(img, 0, 255, cv2.THRESH_BINARY + cv2.THRESH_OTSU)
//在python opencv的二值化函数cv.threshold中，通过最后的参数选择使用Otus算法
//第一个输入是输入的灰度图像
//第二个参数是阈值，因为这个由算法自动选择，所以填0
//第三个参数是最大值，即大于阈值的像素点都等于这个值，小于阈值的都是0
//第一个返回值就是所取的阈值，如果不用Otus算法，第一个返回值也是我们选取的阈值
//第二个返回值是二值图

结语

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