PHANTOM

4756. 【NOIP2016提高A组模拟9.4】幻象 (Standard IO)

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Description

phantom是一位爱思考的哲♂学家。
最近phantom得到了森の妖精的真传。在他练功的时候, 每秒他的思绪中都有一定的概率浮现出奇♂异的幻象,持续x秒的幻象将产生x^2 的幻象值。
phantom练功发自真心,他想知道,在N秒内他期望产生的幻象值是多少。

Input

第一行包含 1 个正整数 N ，表示总时间 N 秒。
第二行包含 N 个用空格隔开的在[0,100]之间的正整数，其中第i个数a[i]表示第i秒浮现幻象的概率为百分之a[i]。

Output

1 个实数，四舍五入后保留一位小数，表示期望幻象值。 

Sample Input

3
50 50 50

Sample Output

2.8

Data Constraint

对于 40%的数据 N ≤ 10
对于 60%的数据 N ≤ 100
对于 100%的数据，N ≤ 10^6
数据规模较大，请使用效率较高的读入方式。

Source / Author: phantom

题解：

 设 L[i]为第 i 秒幻象的持续时间的期望. 显然 L[i] = (L[i-1] + 1) * a[i]%

第一种情况：不选，持续时间为0，贡献为0

第二种情况：选 ， 期望持续时间是 （L[i-1] + 1）*a[i]% , 就是前面的期望长度+1再乘继续选这一位的概率。

N=3时

L[1] = 1*a1

L[2] = L[1] *a2+a2 = a1*a2 + a2 (两个都选 或 第一不选)

L[3] = L[2] * a3 +a3 = a1*a2*a3 + a2*a3 + a3 (同理)

设 f[i]表示前 i 秒的答案 f[i] = f[i-1] + ((L[i-1] + 1)^2 – L[i-1]^2) * a[i]% 时间复杂度为 O(N)

((L[i-1] + 1)^2 – L[i-1]^2)  

若要算i的答案，要把之前的剪掉，最后乘上选i的概率。

#include<bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define rint register int
#define N 1000010
#define open(x) freopen(x".in","r",stdin);freopen(x".out","w",stdout);
#define inf 2147483647
using namespace std;

int i,j,n,t,a[N];
double l[N],f[N];

double sqr(double x){return x*x;}

void read(int &x)
{
	x=0;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))ch=getchar();
	while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	return ;
}


int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
	for(i=1;i<=n;i++)l[i] = (l[i-1]+1)*a[i]/100;
	for(i=1;i<=n;i++)f[i] = f[i-1] + (sqr(l[i-1]+1) - sqr(l[i-1]))*a[i]/100;
	printf("%.1lf",f[n]);
	return 0;
}