LCA（least common ancestors）最近公共祖先
指的就是对于一棵有根树，若结点z既是x的祖先，也是y的祖先（不要告诉我你不知道什么是祖先），那么z就是结点x和y的最近公共祖先。
定义到此。
那么怎么求LCA？
对于朴素思想，就是我要一步一步往上爬。。一步一步走。先把结点x和y整到同一深度，然后再一次一个深度的往上查，直到祖先一样才break（明显是个while）
但是，一步一步实在是太慢了，所以不能脚踏实地地走
那么，考虑跳着走，
跳着走的条件就是要满足一步步数尽可能多并且不跳过了。当然你跳过了在一步一步往下找也行啊QWQ
于是，在满足这两个条件的情况下，我们有了LCA算法：
一步条2的n次方。
对于每一步跳跃，我们要预处理一个二维数组f（father）f[x][i]，表示对于当前的x结点，往上跳2^i个祖先，特别的，像数学中的，f[x][0]就是x的一代祖先。于是我们要用一个dfs预处理来解决这个f数组。后面我们会提到；
处理完f数组，那就很简单了。
输入x和y，表示要求结点x和结点y的LCA，那么我们开始求LCA：
对于x和y在不同高度，我们先把他们拉到一个高度，同样不能一步一步走，也要用到f数组。
这里我们要提前了解到一个定理：对于任意一个非零整数，我们都可以将他用2的次幂表示出来。也就是such as ： 11=2^3+2^1+2^0。这倒也不用证明，就像每个数都可以用二进制表示一样。
接着讲：在把x和y弄到同一高度时，我们要先做的是设x的深度dep要比y的深度dep要大，如果dep[y]>dep[x],那么把他们交换。原因是如果不交换，那么我们需要判断两种情况，用两个if以及几乎相同的代码。。（乱七八糟还占内存）
然后用一个判断 if(dep[f[x][i]]>=dep[y])x=f[x][i];（此时x深度大于y），在这里用外层for循环来枚举i，但是i一定要从大到小！。为什么？
安利一个故事（其实也不算）：一个玻璃瓶，装了几块石头，满到瓶口。满了吗？没有。又装了一些沙子，满到瓶口。满了吗？没有。最后又装满了水，满到瓶口。终于满了。
那么，类比于x和y的深度的距离，这个瓶子的容积也是同样道理。从2的尽可能大的次幂去找，一旦能找到能接近他们的i，就更新dep[x]，直到相等。类似于无限逼近，最后值相等的过程。如果i相等了，就说明他们的深度已经在同一层了。
与倍增到同一深度的过程相比，倍增找公共祖先也是类似的，但是有一点不同，就是你不知道什么时候找到他们的公共祖先，因此就没有查找的上限，那么就让他们尽可能接近。因此条件改成了这个：
if(f[x][i]!=f[y][i])
{
x=f[x][i];y=f[y][i];
}
在执行完这个语句后，我们成功让x和y变成了某一节点z的左右儿子！
因为左右儿子是最接近但是又不相等的。
那么我们随便取其中一个找爸爸，就找到了LCA。
啊。。。。。。喘口气
AC代码：
有关链式存图不懂的的点这里。
#include<cstdio> #include<iostream> using namespace std; int n,m,s,num=0,head[1000001],dep[1000001],f[1000001][23]; int a1,a2; struct edg{ int next,to; }edge[1000001]; void edge_add(int u,int v)//链式前向星存图 { num++; edge[num].next=head[u];edge[num].to=v;head[u]=num; edge[++num].next=head[v];edge[num].to=u;head[v]=num; } void dfs(int u,int father)//对应深搜预处理f数组 { dep[u]=dep[father]+1; for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++) { f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1]; } for(int i=head[u];i;i=edge[i].next) { int v=edge[i].to; if(v==father)continue;//双向图需要判断是不是父亲节点 f[v][0]=u; dfs(v,u); } } int lca(int x,int y) { if(dep[x]<dep[y])swap(x,y); for(int i=20;i>=0;i--)//从大到小枚举使x和y到了同一层 { if(dep[f[x][i]]>=dep[y])x=f[x][i]; if(x==y)return x; } for(int i=20;i>=0;i--)//从大到小枚举 { if(f[x][i]!=f[y][i])//尽可能接近 { x=f[x][i];y=f[y][i]; } } return f[x][0];//随便找一个**输出 } int main(){ scanf("%d%d%d",&n,&m,&s); for(int i=1;i<n;i++) { scanf("%d",&a1);scanf("%d",&a2); edge_add(a1,a2);//链式存边 } dfs(s,0); for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d %d",&a1,&a2); printf("%d\n",lca(a1,a2));//求两个节点的LCA } }
完结。。