堆排序源代码详细分析

之前介绍过几种排序算法，今天说一说堆排序算法。虽然堆排序在实践中不常用，经常被快速排序的效率打败，但堆排序的优点是与输入的数据无关，时间复杂度稳定在O(N*lgN),不像快排，最坏的情况下时间复杂度为O(N²)。

　　说明，了解堆排序的前提是要掌握二叉树的概念，可自行百度，本文不做介绍。

说到堆排序，首先需要了解一种数据结构——堆。堆是一种完全二叉树，这种结构通常可以用数组表示。在实际应用中，堆又可以分为最小堆和最大堆，两者的区别如下：

　　-max-heap property ：对于所有除了根节点（root）的节点 i， $A [P a r e n t] \geq A [i]$

　　-min-heap property ：对于所有除了根节点（root）的节点 i， $A [P a r e n t] \leq A [i]$

$A [P a r e n t] \leq A [i]$

左孩子：Left(i): $l e f t (i) \leftarrow A [2 * i + 1]$

右孩子：Right(i): $r i g h t (i) \leftarrow A [2 * i + 2]$

$A [P a r e n t] \leq A [i]$

重复第2步，直至堆的大小为1为止，此时堆只剩下1个元素，所有比它大（或小）的元素，均已按顺序排列在数组中，排序完成。

以下的分析以最大堆为例。

在以上过程中，用到了一个关键的函数：构建以某个元素为父元素的堆——_maxHeapify，该方法的源码及详细分析如下。具体：

 1 void _maxHeapify<E extends Comparable<E>>(List<E> a, int i, int size) {
 2   // 父节点为i，假设父节点元素为最大；左孩子为l，右孩子为r;
 3   var mi = i, l = (i << 1) + 1, r = (i << 1) + 2;
 4 
 5   // 寻找父、左、右中最大的那个节点
 6   if (l < size && a[l].compareTo(a[mi]) > 0) mi = l;
 7   if (r < size && a[r].compareTo(a[mi]) > 0) mi = r;
 8 
 9   // 如果最大节点不是父节点，则将最大节点交换至父节点，完成节点i的最大堆构建；
10   if (mi != i) {
11     _swap(a, i, mi);
12 
13   // 注意，交换以后，其对应的mi孩子节点的最大堆的性质可能被破坏，因此需递归调用
14   // 以保证堆的有序性；
15     _maxHeapify(a, mi, size);
16   }
17 }

　　　　对于一个数组，构建最大堆的过程，则是从最后一个元素的父元素开始，递归向上构建，直至根元素A[0]。具体代码分析如下：

1 void _buildMaxHeap<E extends Comparable<E>>(List<E> a) {
2   // 从最后一个节点的父节点开始，逐个向上
3   for (var i = (a.length >> 1) - 1; i >= 0; i--) _maxHeapify(a, i, a.length);
4 }

　　　　　最后，开始使用堆排序，详细代码分析如下：

 1 void heapSort<E extends Comparable<E>>(List<E> a) {
 2   // 第一步：构建堆
 3   _buildMaxHeap(a);
 4 
 5   // i+1表示堆的大小.每次循环堆的大小减1；
 6   // 当堆只剩1个元素时，排序结束。此时数组为升序排列
 7   for (var i = a.length - 1; i > 0; i--) {
 8     // 每次取出堆顶元素（也是最大的元素）放在堆的尾部。
 9     _swap(a, 0, i);
10     
11     // 交换上来的元素可能会破坏堆的性质，因此重构堆；
12     _maxHeapify(a, 0, i);
13   }
14 }

　　　　最后附上swap的代码：

1 void _swap<E>(List<E> a, int i, int j) {
2   var t = a[i];
3   a[i] = a[j];
4   a[j] = t;
5 }

　　　　从以上代码也可以看出，堆排序也不需要额外的存储空间，因此，堆排序的空间复杂度为O(1).

　　　　测试代码如下：

 1 import 'dart:math';
 2 import 'package:data_struct/sort/heap_sort.dart';
 3 
 4 void main() {
 5   var rd = Random();
 6   // 随机生成一个数组
 7   List<num> a = List.generate(12, (_) => rd.nextInt(200));
 8 
 9   // 原始数组
10   print(a);
11   print('---------------------------------');
12 
13   // 排序
14   heapSort(a);
15   // 排序后数组
16   print(a);
17 }

　　　　输出结果：

1 [182, 9, 105, 86, 181, 87, 166, 98, 90, 142, 192, 176]
2 ---------------------------------
3 [9, 86, 87, 90, 98, 105, 142, 166, 176, 181, 182, 192]
4 Exited

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