最短路径算法
边带有权值的图称为带权图。边的权值可以理解为两点之间的距离。一张图中任意两点间会有不同的路径相连。最短路径就是指连接两点的这些路径中最短的一条。
一、求出最短路径的长度
以下没有特别说明的话，dis[u][v]表示从u到v最短路径长度，w[u][v]表示连接u，v的边的长度。
1.Floyed-Warshall算法 O(N3)
简称Floyed(弗洛伊德)算法，是最简单的最短路径算法，可以计算图中任意两点间的最短路径。Floyed的时间复杂度是O (N3)，适用于出现负边权的情况。
算法描述：
初始化：点u、v如果有边相连，则dis[u][v]=w[u][v]。
如果不相连则dis[u][v]=0x7fffffff
For (k = 1; k
<= n; k++)
For (i = 1; i <= n; i++)
For (j = 1; j <= n; j++)
If (dis[i][j] >dis[i][k] + dis[k][j])
dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
算法结束：dis[i][j]得出的就是从i到j的最短路径。
2.Dijkstra算法O (N2)
用来计算从一个点到其他所有点的最短路径的算法，是一种单源最短路径算法。也就是说，只能计算起点只有一个的情况。
Dijkstra的时间复杂度是O (N2)，它不能处理存在负边权的情况。
算法描述：
设起点为s，dis[v]表示从s到v的最短路径，pre[v]为v的前驱节点，用来输出路径。
a)初始化：dis[v]=∞(v≠s); dis[s]=0; pre[s]=0;
b)For (i = 1; i <= n ; i++)
1.在没有被访问过的点中找一个顶点u使得dis[u]是最小的。
2.u标记为已确定最短路径
3.For 与u相连的每个未确定最短路径的顶点v
if (dis[u]+w[u][v] < dis[v])
{
dis[v] = dis[u] + w[u][v];
pre[v] = u;
}
c)算法结束：dis[v]为s到v的最短距离；pre[v]为v的前驱节点，用来输出路径。
我们把点分为两类，一类是已确定最短路径的点，称为“白点”，另一类是未确定最短路径的点，称为“蓝点”。如果我们要求出一个点的最短路径，就是把这个点由蓝点变为白点。从起点到蓝点的最短路径上的中转点在这个时刻只能是白点。
Dijkstra的算法思想，就是一开始将起点到起点的距离标记为0，而后进行n次循环，每次找出一个到起点距离dis[u]最短的点u，将它从蓝点变为白点。随后枚举所有的蓝点vi，如果以此白点为中转到达蓝点vi的路径dis[u]+w[u][vi]更短的话，这将它作为vi的“更短路径”dis[vi]（此时还不确定是不是vi的最短路径）。
就这样，我们每找到一个白点，就尝试着用它修改其他所有的蓝点。中转点先于终点变成白点，故每一个终点一定能够被它的最后一个中转点所修改，而求得最短路径。
3.Bellman-Ford算法O(NE)
简称Ford（福特）算法，同样是用来计算从一个点到其他所有点的最短路径的算法，也是一种单源最短路径算法。
能够处理存在负边权的情况，但无法处理存在负权回路的情况（下文会有详细说明）。
算法时间复杂度：O(NE)，N是顶点数，E是边数。
算法实现：
设s为起点，dis[v]即为s到v的最短距离，pre[v]为v前驱。w[j]是边j的长度，且j连接u、v。
初始化：dis[s]=0,dis[v]=∞（v≠s），pre[s]=0
For (i = 1; i
<= n-1; i++)
For (j = 1; j
<= E; j++) //注意要枚举所有边，不能枚举点。
if (dis[u]+w[j]<dis[v])
//u、v分别是这条边连接的两个点。
{
dis[v] =dis[u] + w[j];
pre[v] = u;
}
4、SPFA算法O(kE)
SPFA是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。
主要思想是：
初始时将起点加入队列。每次从队列中取出一个元素，并对所有与它相邻的点进行修改，若某个相邻的点修改成功，则将其入队。直到队列为空时算法结束。
这个算法，简单的说就是队列优化的bellman-ford，利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法。、
SPFA 在形式上和广度优先搜索非常类似，不同的是广度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是说一个点修改过其它的点之后，过了一段时间可能会获得更短的路径，于是再次用来修改其它的点，这样反复进行下去。
算法时间复杂度：O(kE)，E是边数。K是常数，平均值为2。