求标准正交基的一种直观解释

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本文将要介绍的内容很简单，就是如何根据一组非线性相关的向量来计算一组标准正交基。但是与其他文章不同的是，本文将以一种非常直观的思路来，顺理成章的推导出如何计算标准正交基。

首先我们假设有一组非线性相关的基 $v_1,v_2,...,v_n\in V$，我们如何根据 $v_1,v_2,...,v_n$来计算 $V$空间的一组标准正交基？

1. 把 $v_1$看做一个一维空间的基，那么自然计算一个标准基的算法为
   $e_1=\frac{v_1}{|v_1|}$

2. 现在我们已经有一个标准基向量 $e_1$,那么我们新加入 $v_2$，并假设 $e_1,e_2$将会张成一个二维空间，那么 $v_2=|v_2|cos(\alpha)e_1+|v_2|sin(\alpha)e_2$,
   故而下面的等式成立.这个是可以通过简单的几何画图直观上就可以看出来的。
   $\frac{v_2}{|v_2|}-cos(\alpha)e_1=sin(\alpha)e_2,cos(\alpha)=\frac{v_2\cdot e_1}{|v_2|}$
   $E_2 = v_2-(v_2\cdot e_1)e_1\Rightarrow e_2 = \frac{E_2}{|E_2|}$

3. 同理在 $e_1,e_2$所长成的二维空间上，加入新的 $v_3$，可以张成一个三维空间。我们现在假定 $e_1,e_2,e_3$张成了一个空间。那么现在我们有 $\frac{v_3}{|v_3|}=cos(\alpha)e_1+cos(\beta)e_2+cos(\gamma)e_3$,
   其中 $\alpha,\beta,\gamma$分别是 $v_3$与三个基向量之间的夹角。
   $E_3=v_3-(v_3\cdot e_2)e_2-(v_3\cdot e_1)e_1\Rightarrow e_3=\frac{E_3}{|E_3|}$

4. 同理我们可以求出 $e_n$
   $E_n=v_n-\sum_{k=1}^{n-1}(v_n\cdot e_k)e_k\Rightarrow e_n=\frac{E_n}{|E_n|}$

来总结一下，也就是每一次假设引入一个标准基向量 $e_k$，和前面求出来的标准基向量 $e_1,e_2,...,e_k$来组成一个空间。这一组新的标准正交基可以组合为新加入的 $v_k$,饭后根据 $v_k$可 $e_1,e_2,...,e_k$之间的夹角关系求出 $e_k$,因为夹角很好求，是 $\frac{v_k\cdot e_j}{|v_k|},j\in (1,2,...,k)$,所以很好求出 $e_k$，其实这里面只是利用了一个向量加法而已。