一.FFT(Fast Fourier Transform)是什么
作者：肖畅
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来源：知乎
FFT是 Cooley & Tuket 两人1965年提出的快速计算DFT的算法。这背后还有个故事，美国和苏联1963年签了个核试验禁令，互相约定大家都不搞核试验了。但是美国不放心啊，怕毛子说一套做一套，肯尼迪就请了一堆科学家开会，说想搞一套不用去苏联检查就能探测到核试验的设备。美国在苏联周围放了一圈声波探测仪，但是遇到个问题——DFT算得太慢了。正巧 Tuket 和IBM的一个叫 Richard Garwin 的出席了那次会议。会上Garwin就想起来Tuket和Cooley好像合作过一个类似的算法，就让Tuket去找Cooley，但是隐藏了真实目的，告诉Cooley这个算法是为了探测氦3晶体的自旋周期……（也是醉了orz）。两人的算法最后于1965年发表，极大提升了DFT的计算速度，甚至被后世誉为“20世纪最伟大的工程算法”。
从DFT的公式可以看出其算法复杂度是 的，两人的FFT算法表明，在N为合数的情况下
，原长度为N的DFT可以分解为两个长度分别为
和
的DFT！
当然算法不停止于此，如果 和
还可以继续分解，就可以分解为更多小DFT来计算。
使用了算法中的分治（divide and conquer）策略。
而由于DFT的长度其实是可以任意选择的，因此通常在使用FFT时，都选择2的整数次幂作为FFT长度，这样可以一直分解到N/2个长度为2的DFT，复杂度直接降到 。
二.推导快速傅里叶变换基础知识
1.多项式
2.多项式的度数
3.多项式的线性空间
4.系数表达
5.向量的卷积
6.分治乘法
7.点值表达
8.插值
9.点值计算分析
10. 单位复数根
11.单位复数根的性质
（1）消去引理
（2）折半引理
（3）求和引理
12.离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform 简称DFT）
13.多项式求值算法
给定多项式：
设为1的
次方根，即：
，对所有的
计算
的值。
算法一：蛮力算法
对每个做下述运算：依次计算每个项，
，
，对
求和。
对于每个的计算需要：
次乘法，所以进行n次
的计算需要进行
次乘法。
蛮力算法时间复杂度：。
算法二：改进的求值算法
利用前面的求值结果，依次对每个做下述计算：
每一次需要做一次乘法，一次加法，所以给定了一个，只需要进行
次乘法。
进行次
的计算需要进行
次乘法。
改进的求值算法时间复杂度：
算法三：偶系数与奇系数多项式
时：
一般公式（n为偶数）：
也是1的
次根。
偶次数与奇次数多项式计算为规模的子问题，然后利用子问题的解
与
得到的
。
不需要重新计算，
也是1的
次根，也在单位圆上，隔一个取一个就可以找到。
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