1、介绍
相关函数是描述信号X(s),Y(t)（这两个信号可以是随机的，也可以是确定的）在任意两个不同时刻s、t的取值之间的相关程度。两个信号之间的相似性大小用相关系数来衡量。定义：
称为变量 X 和 Y 的相关系数。若相关系数 = 0，则称 X与Y 不相关。相关系数越大，相关性越大，但肯定小于或者等于1.。相关函数分为自相关和互相关。下面一一介绍
自相关函数是描述随机信号 x(t) 在任意不同时刻 t1,t2的取值之间的相关程度。定义式：
主要性质如下：
（1）自相关函数为偶函数，其图形对称于纵轴。
（2）当s=t 时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即
（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。
自相关是互相关的一种特殊情况.。互相关函数是描述随机信号 x(t)、y(t) 在任意两个不同时刻s，t的取值之间的相关程度,其定义为：
对于连续函数，有定义：
对于离散的，有定义：
从定义式中可以看到，互相关函数和卷积运算类似，也是两个序列滑动相乘，但是区别在于：互相关的两个序列都不翻转，直接滑动相乘，求和；卷积的其中一个序列需要先翻转，然后滑动相乘，求和。所以，f(t)和g(t) 做相关等于 f*(-t) 与 g(t) 做卷积。
在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为 R(u)=f(t)f(-t)，其中表示卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。
2、互相关公式
自相关和互相关表示两个的线性度。越接近正负1线性度越好。若接近0表示线性关系不好，但有可能是其他关系，如平方等。
相关的计算公式其实是为了让协方差有量纲：
也就是下面公式：
3、自相关
协方差是会受到单位的影响的，而相关系数就是消除了量纲的影响。
这里讲的自相关系数可以说是根据最原始的定义引伸出来的。
其实自相关系数可以这么理解：把一列数据按照滞后数拆成两列数据，在对这两列数据做类似相关系数的操作。
看一个例子：
这组数据是求滞后数为2的自相关系数，则变成求{x1,x2,…,x8}和{x3,x4,…,x10}两者的“相关系数”，相关系数打引号是因为这个相关系数的公式和以往的有点不一样。下面看一下公式的对比：
（注意：上面公式左边大的求和号只是对分子求和）
要注意的是在计算自相管系数的时候 是使用的总体的均值, 可以看到他们除了 取得不一样, 几乎就是一样的。
所以，我们可以这么理解自相关系数, 她就是用来表达一组数据前后数据 (自己和自己) 的相关性的。
4、matlab中计算自相关系数
比如矩阵A = [1 2 3 4] ;xcorr(A) = 4 11 20 30 20 11 4
自相关函数是信号间隔的函数，间隔有正负间隔，所以n个长度的信号，有2n-1个自相关函数值，分别描述的是不同信号间隔的相似程度，并且该2n-1个自相关函数值关于n对称。
比如，上面的矩阵，最后得到7个结果，其中第4个是自己和自己相乘，最后相加的结果，值最大11+22+33+44 = 30 。而第三个和第五个分别是间隔正负1的结果也就是12+23+34 = 20，21+32+43 = 20 。第二个和第六个分别是间隔正负2也就是13+24=11，31+42 = 11。第一个和第七个分别是间隔正负3也就是14 = 4 ，41=4 。
而matlab中autocorr和xcorr有什么不同呢？autocorr是对序列减去均值后做的自相关，最后又进行了归一化。而且由于自相关本身是偶函数，autocorr只是取了以中点n为起始的后面n个序列。
clear ;
%使用autocorr函数
A = [1 2 3 4] ;
n = length(A) ;
[ACF,lags,bounds] = autocorr(A,n-1) ;
subplot(2,1,1) ;
plot(lags(1:end),ACF(1:end)) ;
title(‘autocorr求自相关’) ;
%使用xcorr函数
B = A - mean(A) ;%减掉均值
[c,lags] = xcorr(B) ;
d = c ./ c(n) ;%归一化
subplot(2,1,2) ;
plot(lags(n:end),d(n:end)) ;%取中点n为起始的后面n个序列
title(‘xcorr求自相关’) ;
