2200+专项：E1、E2. Nauuo and Pictures (easy and hard version)（搜索 概率）

原题： http://codeforces.com/contest/1173/problem/E1

题意：

有n个数，值w，add=1表示喜欢，=0表示不喜欢。

抽m次，每个数被抽到的概率为 $\dfrac{w_i}{\sum w}$。被抽到后，如果喜欢w+1，否则w-1。

问结束后每个数最后的期望值。

解析：

对于每个数做一次，分为三块：自己，其他的喜欢的，其他的不喜欢。用 $dp[i][j][k]$表示三块加了 $i,j,k$次的概率， $val[i][j][k]$表示三块加了 $i,j,k$次，概率为 $dp[i][j][k]$下的期望。

下一次做到这个状态，只需要用当前的概率和记录下的概率 $dp[i][j][k]$算一下就得出需要加的期望了。

比赛结束后2分钟找出bug，不爽

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int maxn=59;

const LL mod=998244353;

int add[maxn];
LL w[maxn];
LL dp[52][52][52];
LL val[52][52][52];
bool vis[52][52][52];

LL Pow(LL a,LL b){
    LL res=1;
    a%=mod;
    while(b){
        if(b&1)res=res*a%mod;
        b>>=1;
        a=a*a%mod;
    }return res;
}

inline LL inv(LL a){
    return Pow(a,mod-2);
}

int flag;
LL dfs(int step,LL p,int i,int j,int k,LL x,LL y,LL z){
    if(step==0)return p*x%mod;
    if(vis[i][j][k]){
        return val[i][j][k]*inv(dp[i][j][k])%mod*p%mod;
    }
    dp[i][j][k]=p;
    val[i][j][k]+=dfs(step-1,p*x%mod*inv(x+y+z)%mod,i+1,j,k,max(0ll,x+flag),y,z);
    val[i][j][k]+=dfs(step-1,p*y%mod*inv(x+y+z)%mod,i,j+1,k,x,y+1,z);
    val[i][j][k]+=dfs(step-1,p*z%mod*inv(x+y+z)%mod,i,j,k+1,x,y,max(0ll,z-1));
    val[i][j][k]%=mod;
    vis[i][j][k]=1;//
    return val[i][j][k];
}

int main(){
    int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);
LL ori,s0=0,s1=0;

    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",add+i);
    for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",w+i);if(add[i])s1+=w[i];else s0+=w[i]; }
    ori=s0+s1;

    int x,y,z,step;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        memset(dp,0,sizeof dp);
        memset(val,0,sizeof val);
        memset(vis,0,sizeof vis);
        //dp[0][0][0]=1;
        if(add[i])
            flag=1,
            val[0][0][0]=dfs(m,1,0,0,0,w[i],s1-w[i],s0);
        else
            flag=-1,
            val[0][0][0]=dfs(m,1,0,0,0,w[i],s1,s0-w[i]);
        printf("%lld\n",val[0][0][0]);
    }
}

HARD version

变难版本后，n为2e5，m为3e3。

我们再来分析选择时的可能性。

喜欢的用x表示，不喜欢的用y表示，则有： $x_1,x_2...y_1,y_2...$

选择任意一个x后，总值都变为 $\sum_x+\sum_y+1$，喜欢的数所占权重都为 $\sum_x+1$。所以可以得出结论：选择哪个都无所谓。

所以假设m次操作后， $\sum_x$的期望值为 $X$，那么 $x_i$的期望值就是 $x_i\dfrac{X}{\sum_x}$

这个用dp做就是：用 $dp[i][j]$表示选 $i$次喜欢的， $j$次不喜欢的概率，那么就有 $X=\sum_{i=0}^mdp[i][m-i]*i$

inv数组好像要预处理才行，下标变一下就行

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int maxn=2e5+9;
const int maxm=3e3+9;

const LL mod=998244353;

int add[maxn];
LL w[maxn];
LL dp[maxm][maxm];

LL Pow(LL a,LL b){
    LL res=1;
    a%=mod;
    while(b){
        if(b&1)res=res*a%mod;
        b>>=1;
        a=a*a%mod;
    }return res;
}

inline LL inv(LL a){
    return Pow(a,mod-2);
}
LL INV[2*maxm];

int main(){
    int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);
    LL s0=0,s1=0,inv0,inv1;

    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",add+i);
    for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",w+i);if(add[i])s1+=w[i];else s0+=w[i]; }
    inv0=inv(s0);
    inv1=inv(s1);

    for(int i=-m-1;i<=m+1;i++){
        if(s0+s1+i<=0)continue;
        INV[i+maxm]=inv(s0+s1+i);
    }

    dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=0;j<=i;j++){
            dp[j][i-j]=(j==0)?0: (dp[j-1][i-j]*(s1+j-1)%mod*INV[j-1-(i-j)+maxm]%mod);
            dp[j][i-j]+=(i-j==0)?0: (dp[j][i-j-1]*(s0-(i-j-1))%mod*INV[j-(i-j-1)+maxm]%mod);
            dp[j][i-j]%=mod;
        }
    }
    LL ans[2]={0,0};
    for(int i=0;i<=m;i++){
        ans[1]+=dp[i][m-i]*(s1+i)%mod;
        ans[0]+=dp[i][m-i]*(s0-m+i)%mod;
    }
    ans[0]%=mod,ans[1]%=mod;

    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(add[i]){
            printf("%d\n",w[i]*ans[1]%mod*inv1%mod);
        }
        else{
            printf("%d\n",w[i]*ans[0]%mod*inv0%mod);
        }
    }
}