大家的人工智能——正规方程

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在《大家的人工智能——线性回归》中，我们介绍了如何找到一条直线来拟合训练数据，下面把之前的一元线性回归扩展到多元线性回归：
$y = \theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 + ··· + \theta_nx_n$

其中θ0对应的是一元线性回归中的那个b，我们再把上面的方程改写一下：
$y = \theta_0x_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 + ··· + \theta_nx_n$
其中x0=1。因此可以把上面的再改写成矩阵形式：
$Y = \theta^TX$
在之前的线性回归中我们说到通过梯度下降的方式，最小化代价函数而找到最优的一组参数最终得到一条直线。聪明的小伙伴很可能会想到，既然是最小化代价函数的值，为什么不用求导的方式得到最佳的θ值呢？

完全是可以的，现在我们看看上面我们改写的那个矩阵形式的公式，我们现在已经知道y和X的值了，做一下简单的求导就能求出θ：
$\theta = (X^TX)^{-1}X^TY$

这样把训练数据代入就能求出θ从而得到拟合数据的一个模型。那么它和梯度下降有什么不同呢，为什么几乎所有地方都在用梯度下降，而正规方程比较少见呢。我们来看看它们两者之间的特点就明白了：

梯度下降：

• 需要选取学习率α
• 需要很多次迭代来得到最优的θ
• 即使训练数据庞大也有良好的性能

正规方程：

• 不需要选取学习率α
• 不需要迭代
• 需要计算 $(X^TX)^{-1}$，时间复杂度为 $O(n^3)$
• 如果训练数据规模庞大，速度会很慢

很明显，正规方程在数据量大的时候性能不够好，而在机器学习、深度学习的任务中，数据有时候会非常庞大，因此将梯度下降作为优化方式。

题外话

现在我们来看看那个正规方程是如何导出来的，首先：
$\theta = [\theta_0, \theta_1,···,\theta_n]^T$

$Y = [y^{(1)},y^{(2)},···,y^{m}]^T$
代价函数：
$J(\theta_0, \theta_1,···,\theta_n) = \frac{1}{2m}(X\theta-Y)^T(X\theta-Y) =\frac{1}{2m}(X^T\theta^TX\theta-X^T\theta^TY-Y^TX\theta+Y^TY)$
因此要最小化上面代价函数，这里给出两个矩阵的求导公式：
$\frac{\partial{AB}}{\partial{B}} = A^T$
$\frac{\partial{X^TAX}}{\partial{X}} = 2AX$

因此：
$\frac{\partial{J(\theta)}}{\partial{\theta}} = \frac{1}{2m}(2X^TX\theta - 2X^TY)$
令其等于零：
$\frac{1}{2m}(2X^TX\theta - 2X^TY) = 0$
得到：
$\theta = (X^TX)^{-1}X^TY$

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