本文讲了
- 线性筛质数
- 线性筛$\varphi(n)$
- 线性筛$\mu(n)$
- 线性筛$d(n)$(因数个数)
- 线性筛$\sigma(n)$(约数和)
一、线性筛质数
- 就扔个代码吧，具体详见欧拉线性筛 和 欧拉函数的求值
inline void PRI(int n) { for(R i=2;i<=n;++i) { if(!v[i]) pri[++cnt]=i; for(R j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;++j) { v[i*pri[j]]=true; if(i%pri[j]==0) break; } } }
二、线性筛$\varphi(n)$
- 也详见欧拉线性筛 和 欧拉函数的求值
inline void PHI(int n) { p[1]=1; for(R i=2;i<=n;++i) { if(!v[i]) pri[++cnt]=i,p[i]=i-1; for(R j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;++j) { v[i*pri[j]]=true; if(i%pri[j]==0) {p[i*pri[j]]=p[i]*pri[j]; break;} p[i*pri[j]]=p[i]*p[pri[j]]; } } }
三、线性筛$\mu(n)$
- $\mu(n)=\begin{cases} 0&有平方素因子 \\ 1&素因子个数为偶数\\ -1&素因子个数为奇数\end{cases}$
- 直接根据定义去筛
inline void MU(int n) { mu[1]=1; for(R i=2;i<=n;++i) { if(!v[i]) pri[++cnt]=i,mu[i]=-1; for(R j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;++j) { v[i*pri[j]]=true; if(i%pri[j]==0) break; mu[i*pri[j]]=-mu[i]; } } }
四、线性筛$d(n)$(因数个数)
- 首先公式：$n=\prod_{i=1}^k\space p_i^{c_i}$，那么$d(n)=\prod_{i=1}^k\space (c_i+1)$
- 记$d[n]$为$n$的因数个数，$c[n]$为$n$最小素因子出现次数；
inline void D(int n) { d[1]=1; for(R i=2;i<=n;++i) { if(!v[i]) pri[++cnt]=i,d[i]=2,c[i]=1; for(R j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;++j) { v[i*pri[j]]=true; if(i%pri[j]==0) { c[i*pri[j]]=c[i]+1; d[i*pri[j]]=d[i]/(c[i]+1)*(c[i]+2); break; } d[i*pri[j]]=d[i]*2; c[i*pri[j]]=1; } } }
- 若$i$是素数，则显然$d[i]=2,c[i]=1$
- 若$i$不是素数，则要分类讨论
- 若$i%pri[j]==0$，说明$pri[j]$是$i$的最小素因子（因为素数是从小到大枚举的），所以$c[i*pri[j]]=c[i]+1$,而$d[i]=(c[i]+1)*(k_1+1)*(k_2+1)*...$，所以此时$c[i*pri[j]]$比$c[i]$增大了$1$,所以$d[i*pri[j]]=d[i]/(c[i]+1)*(c[i]+2)$
- 若$i%pri[j]!=0$,说明$pri[j]$是$i*pri[j]$的最小素因子，所以$c[i*pri[j]]=1$，对于$i$来说，相当于添了一个以前没有的素因子$pri[j]$，所以$d[i*pri[j]]=d[i]*2$.
五、线性筛$\sigma(n)$(约数和)
- 首先公式：$n=\prod_{i=1}^k\space p_i^{c_i}$，那么$\sigma(n)=\prod_{i=1}^k 1+p_i+p_i^2+...+p_i^{c_i}=\prod_{i=1}^k\sum_{j=0}^{c_i} p_i^j$
- 记$s[n]$为$n$的因数和，$c[n]$为$1+p_{min}+p_{min}^2+...+p_{min}^c$,其中$p_{min}$表示的是$n$的最小素因子，$c$是最小素因子在$n$中的的出现次数。
inline void SIGMA() { s[1]=1; for(R i=2;i<=n;++i) { if(!v[i]) pri[++cnt]=i,s[i]=i+1,c[i]=i+1; for(R j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;++j) { v[i*pri[j]]=true; if(i%pri[j]==0) { c[i*pri[j]]=c[i]*pri[j]+1; s[i*pri[j]]=s[i]/c[i]*c[i*pri[j]]; break; } c[i*pri[j]]=pri[j]+1; s[i*pri[j]]=s[i]*(pri[j]+1); } } }
- 若$i$是素数，则显然$s[i]=i+1,c[i]=i+1$
- 若$i$不是素数，则又要分类讨论
- 若$i%pri[j]==0$，说明$pri[j]$是$i$的最小素因子（因为素数是从小到大枚举的），所以原来的$\\1+p_{min}+p_{min}^2+...+p_{min}^c\\$，要变成$\\1+p_{min}+p_{min}^2+...+p_{min}^{c+1}\\$，所以在原来的基础上乘上$p$，再加个$1$就好了，所以$c[i*pri[j]]=c[i]*pri[j]+1$,而$d[i]=(c[i]+1)*(c_1+1)*(c_2+1)*...$，所以此时，$s[i*pri[j]]$也相应转化就好了。
- 若$i%pri[j]!=0$,说明$pri[j]$是$i*pri[j]$的最小素因子，所以$c[i*pri[j]]=pri[j]+1$，对于$i$来说，相当于添了一个以前没有的素因子$pri[j]$，所以$s[i*pri[j]]=s[i]*(pri[j]+1)$.
如果觉得我的四和五讲得不太清楚，安利一发大佬的博客
2019.06.08