[学习笔记] 线性筛求欧拉函数

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• 先放上线性筛的代码。

for (int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        if (!vis[i]) pri[++pr] = i;
        for (int j = 1; j <= pr; ++j)
        {
            if (1ll * pri[j] * i > n) break;
            vis[pri[j] * i] = true;
            if (i % pri[j] == 0) break;
        }
    }

• 其实去掉下面这行代码就和一般的筛法差不多了：

if (i % pri[j] == 0) break;

• 证明直接引用吧：

  $pri[]$ 数组中的素数是递增的，当 $i$ 能整除 $pri[j]$，那么 $i \times pri[j + 1]$ 这个合数肯定被 $pri[j]$ 乘以某个数筛掉。
  因为 $i$ 中含有 $pri[j]$，$pri[j]$ 比 $pri[j+1]$ 小，即 $i = k \times pri[j]$。
  那么$i \times pri[j+1]=(k \times pri[j]) \times pri[j+1]=k’ \times pri[j]$。
  接下去的素数同理，所以不用筛下去了。
  因此，每个合数只会被它的最小质因子筛去。

• 时间复杂度 $O(n)$。

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• 接下来使用线性筛求 $\varphi(n)$。

inline void solve()
{
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        if (!vis[i]) pri[++pr] = i, phi[i] = i - 1;
        for (int j = 1; j <= pr; ++j)
        {
            if (1ll * pri[j] * i > n) break;
            int tmp = pri[j] * i;
            vis[tmp] = true;
            if (i % pri[j] == 0) 
            {
                phi[tmp] = phi[i] * pri[j];
                break;
            }
            phi[tmp] = phi[i] * (pri[j] - 1);
        }
    }
}

• 容易知道：
  
  • 若 $n$ 为质数，$\varphi(n) = n - 1$。
  • $\varphi(n)$ 为积性函数，若 $n, m$ 互质，$\varphi(nm) = \varphi(n) \times \varphi(m)$。
• 实际上就对应代码中 $i$ 为质数 和 $i \% pri[j] \neq 0$ 的情况了。
• 我们设 $n = \prod \limits^{m}_{i = 1}p_i^{q_i}(p_i为n的质因子)$，则 $\varphi(\prod \limits^{m}_{i = 1}p_i^{q_i}) = \prod \limits^{m}_{i = 1}(p_i - 1)p_i^{q_i - 1}$。
• 那么若 $i \% pri[j] = 0$，令 $$\varphi(i) = \varphi(pri[j]^k \times \prod \limits^{m}_{i = 1}p_i^{q_i}) = (pri[j] - 1)pri[j]^{k - 1} \times \prod \limits^{m}_{i = 1}(p_i - 1)p_i^{q_i - 1}$$ $$\therefore\varphi(i \times pri[j]) = \varphi(pri[j]^{k + 1} \times \prod \limits^{m}_{i = 1}p_i^{q_i}) = (pri[j] - 1)pri[j]^{k} \times \prod \limits^{m}_{i = 1}(p_i - 1)p_i^{q_i - 1}$$
• 所以 $\varphi(i \times pri[j]) = \varphi(i) \times pri[j]$，得证剩下一种情况。

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