$AC$自动机

• 直到现在才发现我对\(AC\)自动机还是一知半解（爆论
• 前期储备知识：
  • 字典树 \(trie\)
  • 单模式串匹配 \(KMP\)
• \(AC\)自动机看起来很高大上（仿佛考场上每道题写AC​自动机都能过）。但其实上\(AC\)自动机不过是将\(KMP\)套在\(trie\)上（形象化来讲，即具体实现是利用这两种算法的思想，实际上从定义出发并不相同）
• 首先，当我们手头有\(N\)个模式串时，我们仿照\(KMP\)的思想，对于第\(x\)个模式串的任意一个位置\(pos\)，找到最大的在这\(N\)个模式串的前缀\([start:]\)中出现过的后缀\([:pos]\)，即\([start_s:]^{s}=[:pos]^{s_x}\)
• 但往下深入思考的时候，我们将遇到一个棘手的问题
  • \[如果那个最长的前缀同时出现在多个模式串中怎么办？\\这样我们并不知道应该从哪个模式串的前缀末尾开始匹配\]
• 那怎么办呢？于是我们自然而然就能想到 用\(trie\)把这些相同的前缀合并起来，这样就解决了我们之前遇到的问题。
• 接下来，问题少年又开始提问题了。那你每次插入一个模式串都需要把前面的\(fail\)指针重建（因为会出现更长的前缀匹配前面的后缀），复杂度不是爆炸了吗？所以我们必须在所有模式串插入完成后在一起建\(fail\)指针，因此\(AC\)自动机从理论上讲是一个静态数据结构
• 既然\(fail\)指针的构建是同时对\(N\)个模式串，因此构建方式与\(KMP\)的\(fail\)指针有些许不同，在这里简略讲讲...
  • 我们先在脑中构建一张包含你喜欢的字符串的\(trie\)树（建议拿张草稿纸画画）
  • 回忆\(KMP\)构建\(fail\)数组的方式，我们按照顺序利用前面已得到的\(fail\)指针辅助构建。类似的，我们按照\(trie\)树的深度一层一层构建\(fail\)数组。
  • 当要计算\(u\)的\(fail_u\)的时候我们找到\(fail_{fa_u}\)看它是否有对应\(fa_u\to^cu\)的\(c\)字符，如果没有我们像\(KMP\)一样，暴跳\(fail\)指针，直到找到\(c\)字符对应出边
  • 这里还有一种更简便的构建\(fail\)指针的方式（实际上只是常数优化，思路是一样的）。具体来说，你对每个节点\(u\)的\(26\)条出边（对于文本只存在小写字母来说）无论出边有没有对应节点，都构建\(fail\)指针，这样在求节点\(v\)的\(fail\)指针的时候，我们只要把\(fail_{fa_v}\to^c x\)的\(x\)继承过来即可。