加油站问题 Gas Station

2019-06-01 17:09:30

问题描述：

问题求解：

其实本题本质上是一个数学题。

【定理】

对于一个循环数组，如果这个数组整体和 SUM >= 0，那么必然可以在数组中找到这么一个元素：从这个数组元素出发，绕数组一圈，能保证累加和一直是出于非负状态。

【证明】

从第一个数字开始进行累加和，中间必然会有一个累加和最低的点，我们设为x。最后的sum >= 0。

现在我们从x出发向后累加，那么必然处于非负状态，并且到了最后一个站点还会有一定的盈余，再从开始向最低点x进发也必然不会出现负数的情况。

【Leetcode Discuss】

If sum of all gas[i]-cost[i] is greater than or equal to 0, then there is a start position you can travel the whole circle.
Let i be the index such that the the partial sum

gas[0]-cost[0]+gas[1]-cost[1]+...+gas[i]-cost[i]

is the smallest, then the start position should be start=i+1 ( start=0 if i=n-1). Consider any other partial sum, for example,

gas[0]-cost[0]+gas[1]-cost[1]+...+gas[i]-cost[i]+gas[i+1]-cost[i+1]

Since gas[0]-cost[0]+gas[1]-cost[1]+...+gas[i]-cost[i] is the smallest, we must have

gas[i+1]-cost[i+1]>=0

in order for gas[0]-cost[0]+gas[1]-cost[1]+...+gas[i]-cost[i]+gas[i+1]-cost[i+1] to be greater.
The same reasoning gives that

 gas[i+1]-cost[i+1]>=0
 gas[i+1]-cost[i+1]+gas[i+2]-cost[i+2]>=0 ....... gas[i+1]-cost[i+1]+gas[i+2]-cost[i+2]+...+gas[n-1]-cost[n-1]>=0 

What about for the partial sums that wraps around?

gas[0]-cost[0]+gas[1]-cost[1]+...+gas[j]-cost[j] + gas[i+1]-cost[i+1]+...+gas[n-1]-cost[n-1] >= gas[0]-cost[0]+gas[1]-cost[1]+...+gas[i]-cost[i] + gas[i+1]-cost[i+1]+...+gas[n-1]-cost[n-1] >=0

The last inequality is due to the assumption that the entire sum of gas[k]-cost[k] is greater than or equal to 0.
So we have that all the partial sums

gas[i+1]-cost[i+1]>=0,
gas[i+1]-cost[i+1]+gas[i+2]-cost[i+2]>=0, gas[i+1]-cost[i+1]+gas[i+2]-cost[i+2]+...+gas[n-1]-cost[n-1]>=0, ... gas[i+1]-cost[i+1]+...+gas[n-1]-cost[n-1] + gas[0]-cost[0]+gas[1]-cost[1]+...+gas[j]-cost[j]>=0, ...

Thus i+1 is the position to start.

因此，对于本题来说，我们可以计算一下是否总的gas - cost >= 0?如果是，那么必然存在一个解，在这个前提下，只需要遍历一遍数组，如果碰到不能到达的情况，那么就从第一个不能到达的重新开始计算即可。

    public int canCompleteCircuit(int[] gas, int[] cost) {
        int n = gas.length;
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) sum += gas[i] - cost[i];
        if (sum < 0) return -1;
        int start = 0;
        int tank = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            tank += gas[i];
            if (tank < cost[i]) {
                start = i + 1;
                tank = 0;
            }
            else {
                tank -= cost[i];
            }
        }
        return start;
    }