P2515 [HAOI2010]软件安装

题意

给你\(n\)个可能有依赖关系的物品，物品的价值为\(v_i\)，重量为\(w_i\)，背包大小为\(m\)，要使装的物品价值最大。

做法

如果确保这些依赖关系一定是棵树的话，那么我们就可以愉快地进行树形dp。

这里复习一下树形dp：这里设\(dp[u][j]\)表示以\(u\)为根的子树中装了重量为\(j\)的最大价值。

在dfs的时候顺便更新：

\[dp[u][j] = max(dp[u][j - k], dp[v][k])\]

给出代码康康8：

void dfs(int u) {
    for(int i = weight2[u]; i <= m; i++) dp[u][i] = value2[u];
    for(auto v: G2[u]) {
        dfs(v);
        for(int j = m; j >= weight2[u]; j--) {
            for(int k = 0; k <= j - weight2[u]; k++) {
                dp[u][j] = std::max(dp[u][j], dp[u][j - k] + dp[v][k]);
            }
        }
    }
}

注意：因为这里是01背包，所以在枚举\(j\)的时候照样要倒序枚举。

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然而这道题不是与P2014重题的。可能出现环形依赖。

其实也很简单：环形依赖的物品，要么全选，要么都不选，我们直接缩成一个点不就完事了？

还有：就算缩点了，建出来的图也不一定是一棵树，可能是森林！

解决办法很显然（但我忘了）：建立超级源点作为根，与每一颗森林的根连接，就变成了一棵树。

整体的做法就说完了。

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你以为这样就完了吗？

自信满满地交上去，结果只有10pts：你缩点后的图建得不好！

我最初写的建新图是像普通缩点那样去写的，但是显然有锅：可能会有重边。

而树又不允许有重边，不然算出来的答案全错了。所以是不行的。

所以我们记录原图每个点的父亲，只要颜色不同，并且爸爸不是0，那么就连边。

最终的答案是\(dp[s][m]\)。

代码就不给辣qwq