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Source : 第十届山东省ACM省赛
Problem Link : ZOJ 4123
Author : Houge Date : 2019-5-24
看了快一周的k题，看了好多题解，还是不明白，只恨自己不是数论大佬。昨天看了本校数竞大佬Ch_3225的题解，感觉还不错，和我目前看过的都不太一样（但还是看不懂）。征得同意后，这里就直接copy上来了。
（注意：在此篇题解中，为码字方便，记a^b为a的b次方，而不是c语言定义的异或运算。优先级以幂的运算优先级为准。）
（“|”符号为整除符号，即右边的数➗左边的数得到整数）
题目大意：
即求x∈{1,2,.....,2^p}使得a^x≡x^a(mod 2^p)。
分析：
要求式为了找到x的个数，我们考虑什么样的x满足上述方程。
·变形，原式即为2^p|abs(a^x-x^a)。 （①式）
·记abs(a^x-x^a)为R。
我们考虑a^x-x^a的2的幂次。为了从右式通过提取因子提出尽可能多的2，我们设：
·a=a0*2^i;
·x=x0*2^j;
其中a0和x0都是奇数。
于是代入①式，2^p|abs((a0*2^i)^(x0*2^j)-(x0*2^j)^(a0*2^i))
于是 R=2^(min((i*x0*2^j),(j*a0*2^i)))*p;(x!=a)(p是某个奇数)
或 R=0;(x==a)
即 R=2^(min((i*x),(j*a)))*p;(x!=a)(p是某个奇数)
或 R=0;(x==a)
当x!=a的时候，我们想要使x满足该方程，需要
2^p|2^(min((i*x),(j*a)))*p;(p是某个奇数)
即 p<=min(i*x,j*a)
即 i*x>=p且j*a>=p ②式
因为我们要找的是合法的x，并且我们设的j也和x有关，于是我们将上式变形：
x>=⌈p/i⌉且j>=⌈p/a⌉
这两个式子是说，x（提醒一下x!=a，x==a一会再另算)要满足要求式必须是在[⌈p/x⌉,2^p]区间内并且被2^⌈p/a⌉整除的整数.
值得注意的是，如果i=0，即a为奇数，我们回到式②，发现i*x不可能大于等于②，从而没有x!=a满足要求式。对于这种特殊的情况，可以设下边说的那个X在这种情况下为0。
这样想想，这个问题变成了求一个区间里有多少个某个数的倍数这种问题，就比较显然了。
满足条件的x!=a的x有X=(2^p/2^⌈p/a⌉-(⌈(p+i-1)/i⌉-1)/2^⌈p/a⌉)个。
当然，对于x==a的情况，我们单独算一下，是不是已经满足式X，或者不符合x在定义域内的要求。
如果x符合在定义域内的要求并且不满足式②的话，那么Y=1;否则Y=0。
我们要求的数就是X+Y了。计算输出它即可。
代码:
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 long long pingfanmi(long long a,long long b) 4 { 5 long long d=b,sum=1; 6 while(d--)sum*=a; 7 return sum; 8 } 9 int main() 10 { 11 int T; 12 long long a,i,p,temp,s,r,sum; 13 scanf("%d",&T); 14 while(T--) 15 { 16 sum=0; 17 scanf("%lld%lld",&a,&p); 18 s=pingfanmi(2,p); 19 r=pingfanmi(2,(p+a-1)/a); 20 temp=a; 21 for(i=0;temp%2==0;i++,temp/=2); 22 if(i==0) 23 { 24 printf("1\n"); 25 continue; 26 } 27 sum=(s/r-((p+i-1)/i-1)/r); 28 if(a%r==0&&a<p/i)sum++; 29 printf("%lld\n",sum); 30 } 31 return 0; 32 } 33 //别问我为什么没用快速幂，我懒