[CF855G]Harry Vs Voldemort

[CF855G]Harry Vs Voldemort

题目大意：

一棵\(n(n\le10^5)\)个结点的树，\(q(q\le10^5)\)次操作，每次增加一条新边。每次操作后，你需要统计形如\((u,v,w)\)的三元组的数量，使得\(u,v,w\)都不相同，并存在两条分别\(u\)到\(w\)和\(v\)到\(w\)的路径，使得两条路径没有共同边。

思路：

每次加边相当于将两个顶点之间的所有边缩成了一个边双连通分量。

考虑三元组\((u,v,w)\)：

1. \(u,v,w\)均在同一个边双中；
2. \(u,v\)中有一个在与\(w\)相同的边双中；
3. \(u,v,w\)均在不同的边双中。

对三种情况分别讨论即可。

对于情况2,3，只需维护边双大小\(size[u]\)；对于情况1，还需维护子树大小\(tsize[u]\)，和\(u,v\)分布在相同（或不同）子树中的方案数。

边双缩点可以用并查集实现。

时间复杂度\(\mathcal O(n\alpha(n))\)。

源代码：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<numeric>
inline int getint() {
    register char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar()));
    register int x=ch^'0';
    while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
    return x;
}
typedef long long int64;
const int N=1e5+1;
std::vector<int> e[N];
inline void add_edge(const int &u,const int &v) {
    e[u].push_back(v);
    e[v].push_back(u);
}
int64 ans,val[N],tmp[N];
int n,par[N],dep[N],size[N],tsize[N];
struct DisjointSet {
    int anc[N];
    void reset(const int &n) {
        std::iota(&anc[1],&anc[n]+1,1);
    }
    int find(const int &x) {
        return x==anc[x]?x:anc[x]=find(anc[x]);
    }
    void merge(const int &x,const int &y) {
        anc[find(x)]=find(y);
    }
    bool same(const int &x,const int &y) {
        return find(x)==find(y);
    }
};
DisjointSet djs;
void dfs(const int &x,const int &par) {
    ::par[x]=par;
    dep[x]=dep[par]+1;
    size[x]=tsize[x]=1;
    for(int y:e[x]) {
        if(y==par) continue;
        dfs(y,x);
        tsize[x]+=tsize[y];
    }
}
int64 calc(const int &x) {
    int64 ans=0;
    ans+=1ll*size[x]*(size[x]-1)*(size[x]-2);//XXX
    ans+=2ll*size[x]*(size[x]-1)*(n-size[x]);//XX-Y & Y-XX
    ans+=1ll*(n-size[x])*(n-size[x])*size[x];
    for(int y:e[x]) {//Y-X-Z & Z-X-Y
        if(djs.same(x,y)) continue;
        const int z=djs.find(y);
        const int sz=y==par[x]?n-tsize[x]:tsize[z];
        ans-=1ll*sz*sz*size[x];
        tmp[x]+=1ll*sz*sz;
    }
    return val[x]=ans;
}
int64 calc2(const int &x) {
    int64 ans=0;
    ans+=1ll*size[x]*(size[x]-1)*(size[x]-2);//XXX
    ans+=2ll*size[x]*(size[x]-1)*(n-size[x]);//XX-Y & Y-XX
    ans+=1ll*(n-size[x])*(n-size[x])*size[x];//Y-X-Z & Z-X-Y
    ans-=tmp[x]*size[x];
    return val[x]=ans;
}
void merge(int u,int v) {
    u=djs.find(u);
    v=djs.find(v);
    while(u!=v) {
        if(dep[u]<dep[v]) std::swap(u,v);
        const int w=djs.find(par[u]);
        tmp[w]-=1ll*tsize[u]*tsize[u];
        tmp[w]+=tmp[u]-1ll*(n-tsize[u])*(n-tsize[u]);
        ans-=val[u];
        size[w]+=size[u];
        djs.merge(u,w);
        u=w;
    }
    ans-=val[u];
    ans+=calc2(u);
}
int main() {
    n=getint();
    for(register int i=1;i<n;i++) {
        add_edge(getint(),getint());
    }
    djs.reset(n);
    dfs(1,0);
    for(register int x=1;x<=n;x++) {
        ans+=calc(x);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    const int q=getint();
    for(register int i=0;i<q;i++) {
        merge(getint(),getint());
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}