「CTS2019 | CTSC2019」氪金手游 解题报告

「CTS2019 | CTSC2019」氪金手游

降 智 好 题 ...

考场上签到失败了，没想容斥就只打了20分暴力...

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考虑一个事情，你抽中一个度为0的点，相当于把这个点删掉了（当然你也只能抽中度为0的点）

删掉就是字面意思，就是剩下的树变成子问题

考虑为什么，在抽中这个\(i\)号点后，抽中其他点的概率为
\[ \frac{W-w_i}{W}\sum_{i=0}^{\infty}(\frac{w_i}{W})^i=1 \]
说明这个点已经白给了

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然后考虑这个树如果是一颗外向树，就是每个点先父亲再自己

有个比较显然的dp，令\(dp_{i,j}\)表示子树\(i\)的\(\sum w=j\)时的概率，转移的时候合并一下子树就好了

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然后考虑到，树上一条边相当于一个限制，如果我们去掉这个限制，会多统计一些东西，但是也可以发现，这个多统计的东西就是把边反向的答案...

还是令\(dp_{i,j}\)代表刚刚那个

如果边正向就正常转移

如果反向，就加上去掉限制的再减掉反向的答案（注意到去掉限制的是独立的，我们不需要改变\(W\)，只是给他合并一下）

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Code:

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using std::min;
const int SIZE=1<<21;
char ibuf[SIZE],*iS,*iT;
//#define gc() (iS==iT?(iT=(iS=ibuf)+fread(ibuf,1,SIZE,stdin),iS==iT?EOF:*iS++):*iS++)
#define gc() getchar()
template <class T>
void read(T &x)
{
    x=0;char c=gc();
    while(!isdigit(c)) c=gc();
    while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=gc();
}
const int mod=998244353;
int inline add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
#define mul(x,y) (1ll*(x)*(y)%mod)
int qp(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=mul(f,d);d=mul(d,d),k>>=1;}return f;}
const int N=1e3+10;
int n,p[N][4],dp[N][N*3],tmp[N*3],siz[N],inv[N*3];
int head[N],to[N<<1],Next[N<<1],type[N<<1],cnt;
void addedge(int u,int v)
{
    to[++cnt]=v,type[cnt]=1,Next[cnt]=head[u],head[u]=cnt;
    to[++cnt]=u,type[cnt]=0,Next[cnt]=head[v],head[v]=cnt;
}
void dfs(int now,int fa)
{
    dp[now][0]=1;
    for(int v,i=head[now];i;i=Next[i])
        if((v=to[i])!=fa)
        {
            dfs(v,now);
            memset(tmp,0,sizeof tmp);
            for(int j=0;j<=siz[now];j++)
                for(int k=0;k<=siz[v];k++)
                {
                    int aya=mul(dp[now][j],dp[v][k]);
                    if(type[i])
                        tmp[j+k]=add(tmp[j+k],aya);
                    else
                    {
                        tmp[j+k]=add(tmp[j+k],mod-aya);
                        tmp[j]=add(tmp[j],aya);
                    }
                }
            siz[now]+=siz[v];
            for(int j=0;j<=siz[now];j++) dp[now][j]=tmp[j];
        }
    memset(tmp,0,sizeof tmp);
    for(int i=0;i<=siz[now];i++)
        for(int j=1;j<=3;j++)
            tmp[i+j]=add(tmp[i+j],mul(dp[now][i],mul(p[now][j],mul(j,inv[i+j]))));
    siz[now]+=3;
    for(int i=0;i<=siz[now];i++)
        dp[now][i]=tmp[i];
}
int main()
{
    read(n);
    for(int a1,a2,a3,i=1;i<=n;i++)
    {
        read(a1),read(a2),read(a3);
        int sum=qp(a1+a2+a3,mod-2);
        p[i][1]=mul(a1,sum);
        p[i][2]=mul(a2,sum);
        p[i][3]=mul(a3,sum);
    }
    inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n*3;i++) inv[i]=qp(i,mod-2);
    for(int u,v,i=1;i<n;i++)
    {
        read(u),read(v);
        addedge(u,v);
    }
    dfs(1,0); 
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=3*n;i++) ans=add(ans,dp[1][i]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

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2019.5.20