牛客小白月赛14 ：部分题目总结

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/879#question

官方题解：https://ac.nowcoder.com/discuss/189446?type=101&order=0&pos=1&page=1

A .简单计数

sol：考虑两个数组a和b，a[i]表示第i天在1号城市的方案数，b[i]表示第i天不在1号城市的方案数，可以得到如下dp方程式：

a[i] = b[i - 1]; b[i] = a[i - 1] * (n - 1) + b[i - 1] * (n - 2);

a[k]就是问题的答案。但是k比较大，不能暴力循环。可以将dp方程式转换成矩阵来利用矩阵快速幂求解

ps：n < 2的情况下上面的dp方程式就不对了。但是按照题目给出的maker.cpp，n和k的范围都在8e8到9e8之间；所以我就不得不吐槽一下这个示例1了，根本不满足数据范围。

矩阵快速幂

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
const int MOD = 998244353;
struct Mat {
    int mat[2][2];
    Mat() {memset(mat, 0, sizeof(mat));}
    friend Mat operator * (Mat a, Mat b) {
        Mat ans;
        for (int i = 0; i < 2; i++)
        for (int j = 0; j < 2; j++)
        for (int k = 0; k < 2; k++)
        ans.mat[i][j] = (ans.mat[i][j] + 1LL * a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % MOD;
        return ans;
    }
};
Mat mat_pow(Mat m, int k) {
    Mat ans;
    ans.mat[0][0] = ans.mat[1][1] = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) ans = ans * m;
        m = m * m;
        k >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main() {
    int n, k;
    scanf("%d%d", &n, &k);
    Mat m;
    m.mat[0][1] = 1;
    m.mat[1][0] = n - 1;
    m.mat[1][1] = n - 2;
    m = mat_pow(m, k);
    printf("%d\n", m.mat[0][0]);
    return 0;
}

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B .投硬币

sol：把k次成功到n次成功的概率算出来，然后累加

逆元

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 5;
const int MOD = 998244353;
int powa[MAXN], powb[MAXN], inv[MAXN]; 
int ans, fac;
int quick_pow(int n, int k) {
    int ans = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) ans = 1LL * ans * n % MOD;
        n = 1LL * n * n % MOD;
        k >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main() {
    // a 是成功的概率， b 是失败的概率 
    int n, k, a, b;
    scanf("%d%d%d", &n, &k, &a);
    b = (MOD + 1 - a) % MOD;
    powa[0] = powb[0] = fac = inv[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        powa[i] = 1LL * a * powa[i - 1] % MOD;
        powb[i] = 1LL * b * powb[i - 1] % MOD;
        fac = 1LL * fac * i % MOD; 
    }
    inv[n] = quick_pow(fac, MOD - 2);
    // 线性地推阶乘逆元 
    for (int i = n - 1; i > 0; i--) inv[i] = 1LL * inv[i + 1] * (i + 1) % MOD;
    for (int i = k; i <= n; i++) {
        int p = 1LL * powa[i] * powb[n - i] % MOD;
        // 这个c就是排列组合数，C(n, i); 
        int c = 1LL * fac * inv[n - i] % MOD * inv[i] % MOD;
        ans = (ans + 1LL * p * c) % MOD;
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

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第一次在比赛中运用逆元解出题目，而且比赛结束后又优化了代码，成功提交了目前为止本题最快代码。学习了线性递推阶乘的逆元。

C .植树造林

sol：到所有树的最远距离最小的树一定是最中间的树。所以，如果n为奇数，最中间的树有一棵，否则有两棵。

贪心水题

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    puts(n & 1 ? "1" : "2");
    return 0;
}

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D .签到提I

sol：排个序就完事了

排序

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 5;
int arr[MAXN];
int main() {
    int n, k;
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &arr[i]);
    sort(arr + 1, arr + 1 + n);
    printf("%d\n", arr[k]);
    return 0;
}

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作为签到题，这题确实很水。不过如果把n的范围加到1e7，那么普通sort就要超时了。可以用堆排或手写的针对第k小的快排来完成。

G .many sum

sol：模拟素数筛的方法来求出b数组，然后把b数组异或起来得到答案

素数筛的思路

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
const int MAXN = 2e6 + 5;
int a[MAXN], b[MAXN];
int n, MOD, ans;
int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &a[1], &MOD);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = i; j <= n; j += i)
            b[j] = b[j] + a[i];
        a[i + 1] = (a[i] + 7 * i + 7) % MOD;
        ans ^= b[i];
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

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AB两道难的我做出来了，这题简单的比赛还没做出来。完全不知道d|i是什么意思，后来素数筛又算错了复杂度以为要超时。还是要仔细啊。