量子态层析(quantum state tomography)

量子态层析(quantum state tomography)

量子层析可以分为：量子态层析 和 量子过程层析。这里介绍一下量子态层析。所谓的量子态层析，就是指的是如何通过测量的方式得到态密度 $\rho$。
态密度是我们常用的，描述量子态的纯度等量子态的好坏量。它的定义如下：
$\rho = \sum_0^n P_n |\varphi_n\rangle\langle \varphi_n|$
其中， $P_n$是产生这个态 $|\varphi_n\rangle$的概率，或是它占所有态的比重。

1-qubit的量子态层析

1-qubit的定义的只有一个可以变化的位置，且这个位置只能去0或者1. 因此可以写成：
$|\varphi\rangle=\cos\frac\theta2|0\rangle+\sin\frac\theta2e^{i\phi}|1\rangle$
其中有两个变量 $\theta$和 $\phi$。因此1-qubit的密度矩阵是个2维矩阵。
$\rho=\begin{pmatrix}a_{00}& a_{01}\\a_{10}&a_{11}\\ \end{pmatrix}$
考虑到密度矩阵满足的性质：
$\text{Tr } \rho=1\\ \rho =\rho^\dag$
因此得到， $a_{00}$和 $a_{11}$是实数。 $a_{10}$= $a_{01}^\dag$。因此，决定这个密度矩阵的分别是4个实数： $a_{00},a_{11},\text{Re }a_{10},\text{Im }a_{10}$
因此，我们可以把他们拆解为如下的形式：
$\rho=a_{00}\begin{pmatrix} 1&0\\0&0\end{pmatrix}+a_{11}\begin{pmatrix}0&0\\0&1 \end{pmatrix}+\text{Re }a_{10}\begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix}+\text{Im }a_{10}\begin{pmatrix} 0&-i\\i&0\end{pmatrix}$
分解的前三项描述的是它的实部，最后一项描述的是它的虚部。上述4个矩阵中的任意两个的乘积都是0，自己和自己的乘积是 $I$.

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以光子为例 光的偏振一般有三种分解的方法：水平/竖直，斜45度，左/右旋，对应的态分别为（未归一化）：
$\begin{aligned} &|H\rangle=|0\rangle& \text{，代表水平偏振}\\ &|V\rangle=|1\rangle& \text{，代表竖直偏振}\\ &|D\rangle=|0\rangle+|1\rangle& \text{，代表右上斜45度偏振}\\ &|A\rangle=|0\rangle-|1\rangle& \text{，代表左上斜45度偏振}\\ &|R\rangle=|0\rangle+i|1\rangle& \text{，代表右旋偏振}\\ &|L\rangle=|0\rangle-i|1\rangle& \text{，代表左旋偏振}\\ \end{aligned}$
因此，我们可以得到：
$\begin{aligned} &\hat{P}_H=|H\rangle\langle H|=\begin{pmatrix} 1& 0\\0&0\end{pmatrix}\\ &\hat{P}_V=|V\rangle\langle V|=\begin{pmatrix} 0& 0\\0&1\end{pmatrix}\\ &\hat{P}_D-\hat{P}_A=\begin{pmatrix} 0& 1\\1&0\end{pmatrix}\\ &\hat{P}_R-\hat{P}_L=\begin{pmatrix} 0& -i\\i&0\end{pmatrix} \end{aligned}$
带入1-qubit的密度矩阵的表达式。我们可以得到：
$\begin{aligned} &a_{00}=P_H=\langle\hat{P}_H\rangle\\ &a_{11}=P_V=\langle\hat{P}_V\rangle\\ &2\text{Re }a_{01}=P_D-P_A=\langle\hat{P}_D-\hat{P}_A\rangle\\ &2\text{Im }a_{10}=P_R-P_L=\langle\hat{P}_R-\hat{P}_L\rangle \end{aligned}$

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综上：我们可以分别测量H,V,D,A,R和L的平均值，组合，得到它的密度矩阵。其密度矩阵可以表达为如下的形式：
$\begin{aligned} &\text{Re }\rho=\begin{pmatrix}P_H&(P_D-P_A)/2\\(P_D-P_A)/2&P_V\end{pmatrix}\\ \\ &\text{Im }\rho=\begin{pmatrix}0&(P_L-P_R)/2\\(P_R-P_L)/2&0\end{pmatrix}\\ \end{aligned}$

2-qubit 量子态层析

通过1-qubit的启发，我们也以一种对称的取法，去分解相应的密度矩阵。首先我们分解一下密度矩阵的实数部分：
$\begin{aligned} \text{Re }\rho&= +a_{00}\begin{pmatrix}1&&&\\&&&\\&&&\\&&&\end{pmatrix} +a_{11}\begin{pmatrix}&&&\\&1&&\\&&&\\&&&\end{pmatrix}\\ &+a_{22}\begin{pmatrix}&&&\\&&&\\&&1&\\&&&\end{pmatrix} +a_{33}\begin{pmatrix}&&&\\&&&\\&&&\\&&&1\end{pmatrix}\\ &+\text{Re }a_{01}\begin{pmatrix}&1&&\\1&&&\\&&&\\&&&\end{pmatrix} +\text{Re }a_{02}\begin{pmatrix}&&1&\\&&&\\1&&&\\&&&\end{pmatrix}\\ &+\text{Re }a_{03}\begin{pmatrix}&&&1\\&&&\\&&&\\1&&&\end{pmatrix} +\text{Re }a_{12}\begin{pmatrix}&&&\\&&1&\\&1&&\\&&&\end{pmatrix}\\ &+\text{Re }a_{13}\begin{pmatrix}&&&\\&&&1\\&&&\\&1&&\end{pmatrix} +\text{Re }a_{23}\begin{pmatrix}&&&\\&&&\\&&&1\\&&1&\end{pmatrix} \end{aligned}$
上面10个矩阵有如下的特点，两两乘积均为0，自己与自己的乘积均为对角阵，且对角元为0或1. 我们不妨把这10个矩阵命名为： $A_0, A_1, A_2, A_3, 2B_1, 2B_2, 2B_3, 2B_4, 2B_5, 2B_6.$
因此我们得到了如下的密度矩阵的表达式：
$\text{Re }\rho=\begin{pmatrix}\langle A_0\rangle&\langle B_1\rangle&\langle B_2\rangle&\langle B_3\rangle\\ &\langle A_1\rangle&\langle B_4\rangle&\langle B_5\rangle\\ &&\langle A_2\rangle&\langle B_6\rangle\\ &&&\langle A_3\rangle\\ \end{pmatrix}$
接下来，我们就要寻找这10个矩阵他们对应的实际意义是什么。

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首先，很显然，我们很显然的能得到前四个矩阵的具体意义。
$A_0=\hat{P}_H\otimes\hat{P}_H\\ A_1=\hat{P}_H\otimes\hat{P}_V\\ A_2=\hat{P}_V\otimes\hat{P}_H\\ A_2=\hat{P}_V\otimes\hat{P}_V\\$
这四项是指2个端口分别测量H和V所组成的4种可能。同时，根据我们刚刚得到的 $\hat{P}_D-\hat{P}_A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$我们可以得到另外4个矩阵：
$2B_1=\hat{P}_H\otimes(\hat{P}_D-\hat{P}_A)=\hat{P}_H\otimes\hat{P}_D-\hat{P}_H\otimes\hat{P}_A\\ 2B_2=(\hat{P}_D-\hat{P}_A)\otimes\hat{P}_H=\hat{P}_D\otimes\hat{P}_H-\hat{P}_A\otimes\hat{P}_H\\ 2B_5=(\hat{P}_D-\hat{P}_A)\otimes\hat{P}_V=\hat{P}_D\otimes\hat{P}_V-\hat{P}_A\otimes\hat{P}_V\\ 2B_6=\hat{P}_V\otimes(\hat{P}_D-\hat{P}_A)=\hat{P}_V\otimes\hat{P}_D-\hat{P}_V\otimes\hat{P}_A\\$
至于另外2个矩阵，我们首先需要计算 $(\hat{P}_D-\hat{P}_A)^{\otimes 2}$和 $(\hat{P}_R-\hat{P}_L)^{\otimes 2}$
$(\hat{P}_D-\hat{P}_A)^{\otimes 2}=\begin{pmatrix}&&&1\\&&1&\\&1&&\\1&&&\end{pmatrix}\\ (\hat{P}_R-\hat{P}_L)^{\otimes 2}=\begin{pmatrix}&&&-1\\&&1&\\&1&&\\-1&&&\end{pmatrix}$
因此，我们得到：
$2B_3=[(\hat{P}_D-\hat{P}_A)^{\otimes 2}-(\hat{P}_R-\hat{P}_L)^{\otimes 2}]/2\\ 2B_4=[(\hat{P}_D-\hat{P}_A)^{\otimes 2} +(\hat{P}_R-\hat{P}_L)^{\otimes 2}]/2$

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接下来，让我们计算密度矩阵的复部。 我们需要如下的分解：
$\begin{aligned} \rho-\text{Re }\rho&= \text{Im }a_{01}\begin{pmatrix}&i&&\\-i&&&\\&&&\\&&&\end{pmatrix} +\text{Im }a_{02}\begin{pmatrix}&&i&\\&&&\\-i&&&\\&&&\end{pmatrix}\\ &+\text{Im }a_{03}\begin{pmatrix}&&&i\\&&&\\&&&\\-i&&&\end{pmatrix} +\text{Im }a_{12}\begin{pmatrix}&&&\\&&i&\\&-i&&\\&&&\end{pmatrix}\\ &+\text{Im }a_{13}\begin{pmatrix}&&&\\&&&i\\&&&\\&-i&&\end{pmatrix} +\text{Im }a_{23}\begin{pmatrix}&&&\\&&&\\&&&i\\&&-i&\end{pmatrix} \end{aligned}$
我们把上面6个矩阵分别命名为： $2C_1, 2C_2, 2C_3, 2C_4, 2C_5, 2C_6$. 利用矩阵 $\hat{P}_L-\hat{P}_R=\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}$组合可以得到：
$\begin{aligned} &2C_1=\hat{P}_H\otimes(\hat{P}_L-\hat{P}_R)\\ &2C_2=(\hat{P}_L-\hat{P}_R)\otimes\hat{P}_H\\ &2C_3=[(\hat{P}_L-\hat{P}_R)\otimes(\hat{P}_D-\hat{P}_A)+(\hat{P}_D-\hat{P}_A)\otimes(\hat{P}_L-\hat{P}_R)]/2\\ &2C_4=[(\hat{P}_L-\hat{P}_R)\otimes(\hat{P}_D-\hat{P}_A)-(\hat{P}_D-\hat{P}_A)\otimes(\hat{P}_L-\hat{P}_R)]/2\\ &2C_5=(\hat{P}_L-\hat{P}_R)\otimes\hat{P}_V\\ &2C_6=\hat{P}_V\otimes(\hat{P}_L-\hat{P}_R)\\ \end{aligned}$

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综上，我们得到了：

$\begin{array}{c|c} \text{Re }\rho=\begin{pmatrix}\langle A_0\rangle&\langle B_1\rangle&\langle B_2\rangle&\langle B_3\rangle\\ &\langle A_1\rangle&\langle B_4\rangle&\langle B_5\rangle\\ &&\langle A_2\rangle&\langle B_6\rangle\\ &&&\langle A_3\rangle\\ \end{pmatrix} &\begin{aligned} &2B_1=H\otimes(D-A)\\ &2B_2=(D-A)\otimes H\\ &2B_3=[(D-A)^{\otimes 2}-(L-R)^{\otimes 2}]/2\\ &2B_4=[(D-A)^{\otimes 2}+(L-R)^{\otimes 2}]/2\\ &2B_5=(D-A)\otimes V\\ &2B_6=V\otimes(D-A)\\ \end{aligned}\\ \hline \text{Im }\rho=\begin{pmatrix}0&\langle C_1\rangle&\langle C_2\rangle&\langle C_3\rangle\\ -\langle C_1\rangle&0&\langle C_4\rangle&\langle C_5\rangle\\ -\langle C_2\rangle&-\langle C_4\rangle&0&\langle C_6\rangle\\ -\langle C_3\rangle&-\langle C_5\rangle&-\langle C_6\rangle&0\\ \end{pmatrix} &\begin{aligned} &2C_1=H\otimes(L-R)\\ &2C_2=(L-R)\otimes H\\ &2C_3=[(L-R)\otimes(D-A)+(D-A)\otimes(L-R)]/2\\ &2C_4=[(L-R)\otimes(D-A)-(D-A)\otimes(L-R)]/2\\ &2C_5=(L-R)\otimes V\\ &2C_6=V\otimes(L-R)\\ \end{aligned} \end{array}$