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题目
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为“Start” )。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为“Finish”)。
问总共有多少条不同的路径?
例如,上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径?
说明:m 和 n 的值均不超过 100。
示例 1:
输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始,总共有 3 条路径可以到达右下角。
- 向右 -> 向右 -> 向下
- 向右 -> 向下 -> 向右
- 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2:
输入: m = 7, n = 3
输出: 28
算法1
public class P62_UniquePaths {
public int uniquePaths(int m, int n) {
if(m<1||n<1){
return 0;
}
if(m<2||n<2){
return 1;
}
int min = Math.min(m-1,n-1);
return arrange(m+n-2,min)/ arrange(min,min);
}
private int arrange(int a, int b){
if(b==1){
return a;
}
return a* arrange(a-1,b-1);
}
}
思想:
利用和数学中的排列组合思想,在mxn
的方格中一共需要走m+n-2
步,从中挑选出n-1
步向右即可。即
C(m+n-2,n-1)。此做法会导致阶乘时整数溢出。
算法2
int count = 0;
public int uniquePaths(int m, int n) {
getToEnd(m,n);
return count;
}
private void getToEnd(int m,int n){
if(m>1&&n>1){
getToEnd(m-1,n);
getToEnd(m,n-1);
}else if(m==1||n==1) {
count++;
return;
}
}
思路:
递归做法,先向右递归,在向下递归,此做法会超时。
算法3
public class P62_UniquePaths3 {
public int uniquePaths(int m, int n) {
int[][] box = new int[m][n];
for(int i = 0;i<m;i++){
box[i][0] = 1;
}
for(int i = 0;i<n;i++){
box[0][i] = 1;
}
for(int i = 1;i<m;i++){
for(int j = 1;j<n;j++){
box[i][j] = box[i-1][j]+box[i][j-1];
}
}
return box[m-1][n-1];
}
}
思路:动态规划
- 定义
box
数组,box[i-1][j-1]
表示ixj
的方格所有方法条数。 box[0][j]
,box[i][0]
均为1box[i][j]
=box[i-1][j]
+box[i][j-1]
依次递推