扩展lucas-礼物

BZOJ2142: 礼物

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一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。

输入格式

输入的第一行包含一个正整数P(1≤P≤2⋅109)，表示模；设p=∏i=1kpkii, 1≤pkii≤105；

第二行包含两个整整数n(1≤n≤2⋅109)和m(1≤m≤5)，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；

以下m行每行仅包含一个正整数wi(1≤wi≤2⋅109)，表示小E要送给第i个人的礼物数量。

输出格式

若不存在可行方案，则输出”Impossible”，否则输出一个整数，表示模P后的方案数。

样例

input

100
4 2
1
2

output

12

容易知道，答案等于C(N,W1)*C(N-W1,W2)*...，问题在于怎么快速地算组合数，于是找到了lucas定理，大意为C(N,M)%P=C(N%P,M%P)C(N/P,M/P)%P，要求P为质数，所以又有了扩展lucas，就是先把P质因数分解，算完再剩余定理合并。

代码来自以下博客
https://www.cnblogs.com/Yangrui-Blog/p/9000092.html

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
inline long long read(){
    long long date=0,w=1;char c=0;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
    return date*w;
}
long long mexp(long long a,long long b,long long c){
    long long s=1;
    while(b){
        if(b&1)s=s*a%c;
        a=a%c*a%c;
        b>>=1;
    }
    return s;
}
void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){
    if(!b){
        x=1;y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
}
long long inv(long long a,long long c){
    if(!a)return 0;
    long long x=0,y=0;
    exgcd(a,c,x,y);
    return (x%c+c)%c;
}
long long mul(long long a,long long p,long long k){
    if(!a)return 1;
    long long s=1;
    if(a/k){
        for(long long i=2;i<k;i++)if(i%p)s=s*i%k;
        s=mexp(s,a/k,k);
    }
    for(long long i=2;i<=a%k;i++)if(i%p)s=s*i%k;
    return s*mul(a/p,p,k)%k;
}
long long C(long long n,long long m,long long mod,long long p,long long k){
    if(n<m)return 0;
    long long a=mul(n,p,k),b=mul(m,p,k),c=mul(n-m,p,k);
    long long q=0,s;
    for(long long i=n;i;i/=p)q+=i/p;
    for(long long i=m;i;i/=p)q-=i/p;
    for(long long i=n-m;i;i/=p)q-=i/p;
    s=a*inv(b,k)%k*inv(c,k)%k*mexp(p,q,k)%k;
    return s*(mod/k)%mod*inv(mod/k,k)%mod;
}
long long exlucas(long long n,long long m,long long mod){
    long long ans=0,x=mod;
    for(long long i=2;i*i<=mod;i++)
    if(x%i==0){
        long long k=1;
        while(x%i==0){
            k*=i;
            x/=i;
        }
        ans=(ans+C(n,m,mod,i,k))%mod;
    }
    if(x>1)ans=(ans+C(n,m,mod,x,x))%mod;
    return ans;
}
int main(){
    int n,m,p;
    long long ans=1,sum=0,val[10];
    p=read();
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        val[i]=read();
        sum+=val[i];
    }
    if(sum>n){
        printf("Impossible\n");
        return 0;
    }
    sum=n;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        ans=ans*exlucas(sum,val[i],p)%p;
        sum-=val[i];
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}