CF5D Follow Traffic Rules

$Description$

给定一条长度为 $l$ 的道路，现在你从原点出发向 $l$ 这个点行驶，你的加速度为 $a$ ， $d$ 这个点的限速为 $w$ ，你车辆的最高速度为 $v$ ，求行驶到 $l$ 点的最短时间

数据范围：不爆 $double$

$Solution$

一道物理题

匀速运动时： $v=\frac s t$
匀变速时： $v=v_0+at$
位移公式： $x=v_0t+\frac {at^2}2$
位移速度关系式： $v^2-v_0^2=2ax$

第四条证明：
由第三条 $x=v_0t+\frac{at^2}2$
两边同时乘 $2a$ 得到
$2v_0at+a^2t^2=2ax$
分配率
$at(2v_0+at)=2ax$
由第二条
$at(v+v_0)=2ax$
再由第二条移项得到
$(v-v_0)(v+v_0)=2ax$
平方差
$v^2-v_0^2=2ax$

简单吧。。。

设函数 $f(v_0,v,a,l)$ 表示初始速度为 $v1$ ，限速 $v2$ ，加速度 $a$ ，通过长度为 $l$ 的路程的时间

设位移距离 $s=\frac{v^2-v_0^2}{2a}$

如果 $s\geq l$ ，那么直接跑即可，得到方程 $\frac 1 2at^2+v_0t-l=0$ ，用公式法解得 $t=\frac{-v_0+\sqrt{v_0^2+2al}}a$

否则前面做加速，后面做匀速

得到 $t=\frac {v-v_0}a+\frac{l-s}{v}$ ，即加速的时间和通过剩余路程的时间

主程序部分

设 $s_{特判}=\frac{w^2}{2a}$ ，表示加速到 $w$ 行驶的距离

当 $w\geq v\ or\ s_{特判}\geq d$ 时，即连最高时速都没有限速那么高或者一直加速 $w$ 时已经过了 $d$ 了，这时限不限速就不重要了，直接一直加速到 $v$ 开过去即可， $ans=f(0,v,a,l)$

当 $w< v$ 时，设 $t_1$ 表示 $[0\sim d]$ 的时间， $t_2$ 表示 $[d\sim l]$ 的时间，显然 $t_2=f(w,v,a,l-d)$

现在我们的主要任务是求 $t_1$ ，我们可以模仿人的开车过程

当没有摄像头时，你一直加速到最高时速，发现前方有摄像头，你又慢慢减速到限速，我们此时就需要求出这个你开始减速的时间

又是一个一元二次方程啊。。。 $t_{加速阶段}=\sqrt{\frac{2ad+w^2}{2a^2}}$
若 $at_{加速阶段}\leq v$ ，那么我们来不及加速到 $w$ ，只能加速到某一速度，然后减速到 $v$ ，此时 $t_{加速}=t_{减速到0}$

得到 $t_1=t_{加速阶段}+t_{减速到w}=t_{加速阶段}+(t_{减速到0}-t_{加速到w})=2t_{加速阶段}-t_{加速到w}=2t_{加速阶段}-\frac w a$

否则若 $at_{加速阶段}>v$ ，则说明我们时间足够充裕，可以先加速到 $w$ ，然后匀速行驶一段时间，再减速到 $v$ ，此时 $t_1=\frac v a+\frac{v-w}{a}+\frac{d-(加速路程+减速路程)}v$ ，分别表示加速的时间，减速的时间和匀速行驶的时间

答案即为 $t_1+t_2$

说白了就是一道物理题呀QwQ

时间复杂度？ $O(1)$

$Code$

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
double a,v,l,d,w,t1,t2,ans;
inline double F(double x){return x*x;}
inline double f(double v0,double v,double a,double l) 
{
	double s=(v+v0)*(v-v0)/2/a;
	if(s>=l) return (-v0+sqrt(F(v0)+2*a*l))/a;
	else return (v-v0)/a+(l-s)/v;
}
signed main()
{
	scanf("%lf%lf%lf%lf%lf",&a,&v,&l,&d,&w);
	double stp=F(w)/2/a;
	if(w>=v||stp>=d) ans=f(0,v,a,l);
	else
	{
		t2=f(w,v,a,l-d);
		double tjs=sqrt((2*a*d+F(w))/2/a/a);
		if(tjs*a<=v) t1=2*tjs-w/a;
		else
		{
			double sf=F(v)/2/a;
			double sl=(v+w)*(v-w)/2/a;
			t1=v/a+(v-w)/a+(d-sf-sl)/v;
		}
		ans=t1+t2;
	}
	printf("%.12f",ans);
}