jzoj6020. 【GDOI2019模拟2019.2.15】石子游戏

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题目描述

Description

Input

Output

Sample Input

Sample Output
7
样例解释：
删去第三堆石子（石子个数为 2的那一堆），剩下 7 堆。
Data Constraint

60%

显然nim游戏中后手会赢的条件是a₁^a₂^a₃…^a_n=0
所以问题变成了在n个数中选尽量少的数，使得这些数的异或和等于全部数的异或和
dp，设f[i]表示异或和为i时最少个数
转移显然
时间复杂度O(nA)
话说前两档部分分有什么意义

100%

如果在60%的基础上加上一些优化，那么最坏时间还是O(nA)
但根据大量数据实验可以发现，选取的数个数不会超过log A！

结论十分哲♂学，证明如下：
因为所需要表示的数是a中一些数的异或和，该数一定能被a的线性基中的数所表示
而线性基每次加只会多出一种a，所以任意异或出来的数都可以用不超log A种a表示

于是可以设一个很sb的dp：
f[i][j]表示已经选了i个数，异或和是否能为j（0/1）
欸好像是O(n³)
然而并不用慌，根据上面的结论，i只需要选到log A
所以变成了O(n²log A)
然而还是很虚。。。
观察转移，发现每次操作实际上是把f[i]和a的计数数组搞一波异或卷积加到f[i+1]，显然可以用FWT优化
每次算完之后把非0位变成1就可以了，表示该方案成立
至于模数。。。
滑稽

code

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (a=b; a>=c; a--)
#define mod 那位大人的生日
#define len 524287
#define clear(x) x=x!=0?1:0
using namespace std;

int f[20][len+1];
int a[len+1];
int n,i,j,k,l,_2,s;

void tf(int *a)
{
	int i,j,k,s1=2,s2=1,s3=262144;
	
	fo(i,1,19)
	{
		fo(j,0,s3-1)
		{
			fo(k,0,s2-1)
			{
				int u=a[s1*j+k],v=a[s1*j+k+s2];
				
				a[s1*j+k]=(u+v)%mod;
				a[s1*j+k+s2]=(u-v)%mod;
			}
		}
		
		s1<<=1;s2<<=1;s3>>=1;
	}
}
void utf(int *a)
{
	int i,j,k,s1=2,s2=1,s3=262144;
	
	fo(i,1,19)
	{
		fo(j,0,s3-1)
		{
			fo(k,0,s2-1)
			{
				int u=a[s1*j+k],v=a[s1*j+k+s2];
				
				a[s1*j+k]=(long long)(u+v)*_2%mod;
				a[s1*j+k+s2]=(long long)(u-v)*_2%mod;
			}
		}
		
		s1<<=1;s2<<=1;s3>>=1;
	}
}

int main()
{
	freopen("nim.in","r",stdin);
	freopen("nim.out","w",stdout);
	
	_2=(mod+1)/2;
	
	scanf("%d",&n);
	fo(i,1,n)
	{
		scanf("%d",&j);
		s^=j;
		a[j]=1;
	}
	
	tf(a);
	
	f[0][0]=1;
	f[1][0]=1;
	fo(i,1,18)
	{
		tf(f[i]);
		fo(j,0,len)
		f[i][j]=(f[i][j]*a[j])%mod;
		utf(f[i]);
		
		fo(j,0,len)
		{
			clear(f[i][j]);
			f[i+1][j]=f[i][j];
		}
	}
	
	fo(i,0,19)
	if (f[i][s])
	{
		printf("%d\n",n-i);
		break;
	}
	
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	
	return 0;
}