红黑树，B树

一、红黑树

红黑树是牺牲了严格的高度平衡的优越条件为代价红黑树能够以O(log2 n)的时间复杂度进行搜索、插入、删除操作。
此外，由于它的设计，任何不平衡都会在三次旋转之内解决。

1. 红黑树特性

1. 每个节点要么是红色，要么是黑色；
2. 根节点永远是黑色的；
3. 所有的叶子节点都是是黑色的（注意这里说叶子节点其实是上图中的 NIL 节点）；
4. 每个红色节点的两个子节点一定都是黑色，红色不能连续；
5. 从任一节点到其子树中每个叶子节点的路径都包含相同数量的黑色节点；

2. 插入数据

参考：https://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3245399.html#aa5
步骤：

第一步: 将红黑树当作一颗二叉查找树，将节点插入。
第二步：将插入的节点着色为"红色"。
第三步: 通过一系列的旋转或着色等操作，使之重新成为一颗红黑树。

根据被插入节点的父节点的情况，可以将"当节点z被着色为红色节点，并插入二叉树"划分为三种情况来处理。

① 情况说明：被插入的节点是根节点。
处理方法：直接把此节点涂为黑色。 ② 情况说明：被插入的节点的父节点是黑色。
处理方法：什么也不需要做。节点被插入后，仍然是红黑树。
③ 情况说明：被插入的节点的父节点是红色。

图示：case1

case2

case3

2.1 左旋

2.2 右旋

例： 插入节点21

3. 删除数据

多例详解：https://www.jianshu.com/p/ad5d65e7ce62

二. B树

B树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种多叉平衡查找树。与红黑树很相似，但在降低磁盘I/0操作方面要更好一些。 许多数据库系统都一般使用B树或者B树的各种变形结构，
漫画讲解：https://www.jianshu.com/p/8b653423c586

注意：
「B-树」，就是「B树」，都是 B-tree 的翻译，里面不是减号-，是连接符-。因为有人把 B-tree 翻成「B-树」，让人以为「B树」和「B-树」是两种树，实际上两者就是同一种树。

下面来具体介绍一下B-树（Balance Tree），一个m阶的B树具有如下几个特征：

1.根结点的儿子数为[2, M]，至少有两个子女。
2.每个中间节点都包含k-1个元素和k个孩子，其中 m/2 <= k <= m（ 非叶子结点的关键字个数=儿子数-1）
3.每一个叶子节点都包含k-1个元素，其中 m/2 <= k <= m
4.所有的叶子结点都位于同一层。
5.每个节点中的元素从小到大排列，节点当中k-1个元素正好是k个孩子包含的元素的值域分划。（k个关键字把节点拆成k+1段，分别指向k+1个儿子，同时满足查找树的大小关系。）

示例：

1.插入数据

输入数据的节点颜色是红色的。

1，首先自顶向下查询找到4应该在的位置，即3、5之间；
2，但是3阶b树的节点最多只能有2个元素，所以把3、4、5里面的中间元素4上移（中间元素上移是插入操作的关键）；
3，上一层节点加入4之后也超载了，继续中间元素上移的操作，现在根节点变成了4、9；
4，还要满足查找树的性质，所以对元素进行调整以满足大小关系，始终维持多路平衡也是b树的优势，最后变成这样：

2.删除数据

删除11后，节点12只有一个孩子，不符合B树规范。因此找出12,13,15三个节点的中位数13，取代节点12，而节点12自身下移成为第一个孩子。（这个过程称为左旋）

三. B+树

漫画算法：什么是 B+ 树？：https://www.jianshu.com/p/1f2560f0e87f
b+树，是b树的一种变体，查询性能更好。
m阶的b+树的特征：

1. 有n棵子树的非叶子结点中含有n个关键字（b树是n-1个），这些关键字不保存数据，只用来索引，所有数据都保存在叶子节点（b树是每个关键字都保存数据）。
2. 所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。
3. 所有的非叶子结点可以看成是索引部分，结点中仅含其子树中的最大（或最小）关键字。
4. 通常在b+树上有两个头指针，一个指向根结点，一个指向关键字最小的叶子结点。
5. 同一个数字会在不同节点中重复出现，根节点的最大元素就是b+树的最大元素。

B+树的优势：

1.单一节点存储更多的元素，使得查询的IO次数更少。

2.所有查询都要查找到叶子节点，查询性能稳定。

3.所有叶子节点形成有序链表，便于范围查询。

例：查询3—11的数据