阶梯博弈的优秀博客.
首先是对阶梯博弈的阐述...博弈在一列阶梯上进行...每个阶梯上放着自然数个点..两个人进行阶梯博弈...每一步则是将一个集体上的若干个点( >=1 )移到前面去..最后没有点可以移动的人输..
如这就是一个阶梯博弈的初始状态 2 1 3 2 4 ... 只能把后面的点往前面放...如何来分析这个问题呢...其实阶梯博弈经过转换可以变为Nim..把所有奇数阶梯看成N堆石子..做nim..把石子从奇数堆移动到偶数堆可以理解为拿走石子..就相当于几个奇数堆的石子在做Nim..( 如所给样例..2^3^4=5 不为零所以先手必败)为什么可以这样来转化？
假设我们是先手...所给的阶梯石子状态的奇数堆做Nim先手能必胜...我就按照能赢的步骤将奇数堆的石子移动到偶数堆...如果对手也是移动奇数堆..我们继续移动奇数堆..如果对手将偶数堆的石子移动到了奇数堆..那么我们紧接着将对手所移动的这么多石子从那个奇数堆移动到下面的偶数堆...两次操作后...相当于偶数堆的石子向下移动了几个..而奇数堆依然是原来的样子...即为必胜的状态...就算后手一直在移动偶数堆的石子到奇数堆..我们就一直跟着他将石子继续往下移..保持奇数堆不变...如此做下去..我可以跟着后手把偶数堆的石子移动到0..然后你就不能移动这些石子了...所以整个过程..将偶数堆移动到奇数堆不会影响奇数堆做Nim博弈的过程..整个过程可以抽象为奇数堆的Nim博弈...
其他的情况...先手必输的...类似推理...只要判断奇数堆做Nim博弈的情况即可...
为什么是只对奇数堆做Nim就可以...而不是偶数堆呢？...因为如果是对偶数堆做Nim...对手移动奇数堆的石子到偶数堆..我们跟着移动这些石子到下一个奇数堆...那么最后是对手把这些石子移动到了0..我们不能继续跟着移动...就只能去破坏原有的Nim而导致胜负关系的不确定...所以只要对奇数堆做Nim判断即可知道胜负情况...
【JZOJ4178】【NOI2015模拟YDC】解释如何将问题转化成阶梯博弈
首先，我们需要特判a[n]=m-1的情况。此时，答案为末尾连续的棋子个数。因为末尾的那堆棋子都可以一步移到m。
那么，a[n] < m-1怎么办？
譬如有如下的一块板子：
如果此时所有的棋子都聚集在m-2（所有棋子连续，最后一个棋子在m-2），那么这是一个必败态。所以可以把第m-2个位置设为第0层。
然后，我们将连续的棋子放在同一层；若碰到空格，则忽略其中一个，然后令其他的空格独踞一层。
也就是说，我们每碰到一个棋子，就加进当前层；每碰到一个空格，就令层数++。于是，两个相邻（a[i]与a[i+1]）棋子的层数差即为它们间的空格数。
所以说，上图中的第0层有2个棋子（即a[5]、a[6]）；第3层有3个棋子（即a[2]、a[3]、a[4]）；第4层有1个棋子（即a[1]）。如果我们将a[1]后移一格，它就会与a[2]、a[3]、a[4]连在一起；所以对应它往下跳一层，就可以与a[2]、a[3]、a[4]处在同一层。
于是，这就转化成了一个阶梯nim游戏。SG=奇数层棋子数的异或和。
当SG=0时必败，SG=1时必胜。但这题并不让我们判断是否必胜，而是要我们求必胜走法方案数。
使之胜利的移动方案，是将一个石子堆的石子数d变成Sg^d（变成sg^d后就造成了一个必败态，是留给对手的）
我们可以分类讨论：从奇数层移到偶数层，设那个奇数层有a个棋子，此时相当于取走若干个棋子，那么只要它满足a>SG^a，我们就可以取走若干个，使它剩下SG^a个，然后SG值就会变成0，所以此时ans++；从偶数层移到奇数层，设偶数层有c个棋子，奇数层有d个棋子，只要它满足c+d≥SG^d且d < SG^d，我们就可以从c移若干个给d，把d补至SG^d个，SG值就会变成0，所以此时也让ans++。
当然，这可能有O(m)层，我们只需记录有棋子的层的信息即可。
时间复杂度：O(n)。
fo(i,1,b[0])tot+=(b[i]>=(b[i]^SG));
fo(i,1,c[0])tot+=(c[i]+d[i]>=(d[i]^SG)&&d[i]<(d[i]^SG));虽然我之前做了POJ 1704 Georgia and Bob，但是我只是按照《挑战程序设计》写了一下，并没有认真地去理解阶梯博弈，然后遇到新题目就死了。