【FWT】CF1119H Triple

【题目】
CF
给出三个数 $x,y,z$ ,再给出 $n$ 组数,每组数包含 $(x+y+z)$ 个数, $x$ 个 $a$ , $y$ 个 $b$ , $z$ 个 $c$ ,那么从每一组数中选择一个数的异或值为 $t$ 的方案数是多少,对每个 $t$ 输出答案对 $998244353$ 取模
$n\leq 10^5,k\leq 2^17,a,b,c< 2^k$

【解题思路】
高妙！
一种暴力的方法是，对于第 $i$ 组，我们令 $f_{i,a_i}=x,f_{i,b_i}=y,f_{i,c_i}=z$ ，其余为 $0$ ，然后 $n$ 个多项式 $\text{FWT}$ 点积再逆变换就可以得到答案了。

要优化这个暴力，由于只有三个值进行 $\text{FWT}$ ，那么对于每个位置的贡献情况只有 $8$ 种，仍然不好考虑。
但我们发现，若将序列整体异或 $a_i$ ，即 $f_{i,0}=x,f_{i,a_i\oplus b_i}=y,f_{i,a_i\oplus c_i}=z$ ，现在每一项的系数只有可能是下面四种： $x+y+z,x+y-z,x-y+z,x-y-z$ 。

考虑每一个位置 $i(0\leq i<2^k)$ ，那么就是上面四个贡献的若干次方的乘积，不妨设次方分别为 $a,b,c,d$ 。
那么我们现在可以得到一个简单的柿子 $a+b+c+d=n$ 。考虑再构造出其他的方程使得我们能解出这个东西，于是可以用 $x$ 和 $y$ 同号的方案数减去 $x$ 和 $y$ 异号的方案数，即仅对 $f_{a_i\oplus b_i}=1$ 进行 $\text{FWT}$ ，我们可以得到另一条柿子： $a+b-c-d=cnt_1$ 。同理再分别对 $x,z$ 和 $y,z$ 做 $\text{FWT}$ ，就可以得到： $a-b+c-d=cnt_2,a-b-c+d-cnt_3$ 。

联立解方程组即可。

复杂度 $O(k\cdot 2^k)$

【参考代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=262333,mod=998244353,inv2=(mod+1)>>1;
int n,k,X,Y,Z,inv4,tmp;
int ans[N],A[N],B[N],C[N];

int read()
{
	int ret=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)) c=getchar();
	while(isdigit(c)) ret=ret*10+(c^48),c=getchar();
	return ret;
}
int upm(int x){return x>=mod?x-mod:(x<0?x+mod:x);}
void up(int &x,int y){x=upm(x+y);}
int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
int qpow(int x,int y){int res=1;for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);return res;}

void fwtxor(int *a,int n,int op)
{
	for(int i=1;i<n;i<<=1) 
		for(int j=0;j<n;j+=i<<1)
			for(int k=0;k<i;++k)
			{
				ll x=a[j+k],y=a[i+j+k];
				a[j+k]=upm(x+y);a[i+j+k]=upm(x-y);
				if(!~op) a[j+k]=mul(a[j+k],inv2),a[i+j+k]=mul(a[i+j+k],inv2);
			}
}

int main()
{
#ifdef Durant_Lee
	freopen("CF1119H.in","r",stdin);
	freopen("CF1119H.out","w",stdout);
#endif
	n=read();k=read();X=read();Y=read();Z=read();inv4=qpow(4,mod-2);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		int a=read(),b=read(),c=read();
		tmp^=a;A[a^b]++;B[a^c]++;C[b^c]++;
	}
	fwtxor(A,1<<k,1);fwtxor(B,1<<k,1);fwtxor(C,1<<k,1);
	//for(int i=0;i<(1<<k);++i) printf("%d ",C[i]); puts("");
	for(int i=0;i<(1<<k);++i)
	{
		//printf("%d %d %d\n",A[i],B[i],C[i]);
		ll a=upm(((ll)n+A[i]+B[i]+C[i])%mod*inv4%mod),b=upm(((ll)n+A[i]-B[i]-C[i])%mod*inv4%mod);
		ll c=upm(((ll)n-A[i]+B[i]-C[i])%mod*inv4%mod),d=upm(((ll)n-A[i]-B[i]+C[i])%mod*inv4%mod);
		//printf("%lld %lld %lld %lld\n",a,b,c,d);
		ans[i]=1ll*qpow(((ll)X+Y+Z)%mod,a)*qpow(((ll)X+Y-Z)%mod,b)%mod*qpow(((ll)X-Y+Z)%mod,c)%mod*qpow(((ll)X-Y-Z)%mod,d)%mod;
		ans[i]=upm(ans[i]);
	}
	fwtxor(ans,1<<k,-1);
	for(int i=0;i<(1<<k);++i) printf("%d ",ans[i^tmp]);
	return 0;
}

【FWT】CF1119H Triple

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