「NOI2018」屠龙勇士 解题报告

「NOI2018」屠龙勇士

首先对于每个龙用哪个剑砍，我们可以用set随便模拟一下得到。

然后求出拿这个剑砍这条龙的答案
\[ atk_ix-p_iy=a_i \]
其中\(atk_i\)是砍第\(i\)条龙的剑的攻击力，\(p_i\)是龙的回复系数，\(a_i\)是初始生命值，然后\(x\)就是单独考虑这个剑砍这个龙的答案。

我们可以拿exgcd去解这个方程，但是冷静分析一波，我们发现回复次数\(y\)需要非负。

然后我们再冷静一波，发现\(p_i\not=1\)的数据都有一个叫性质\(1\)的东西是\(a_i\le p_i\)

在性质\(1\)的情况下，因为\(atk_i\)和\(x\)都是非负的，所以\(y<0\)的时候显然是无解的

然后发现\(p_i\)都等于\(1\)的时候，我们只需要取最大的生命值就可以了

然后快乐的解一下这个方程

注意一件事，可以得到通解\(x\)是在\(\pmod {\frac{p_i}{\gcd(p_i,atk_i)}}\)下的

这样我们就得到了很多个同余方程，然后excrt合并就可以了

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Code:

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <set>
#define ll long long
using std::max;
const int SIZE=1<<21;
char ibuf[SIZE],*iS,*iT;
#define gc() (iS==iT?(iT=(iS=ibuf)+fread(ibuf,1,SIZE,stdin),iS==iT?EOF:*iS++):*iS++)
//#define gc() getchar()
template <class T>
void read(T &x)
{
    x=0;char c=gc();
    while(!isdigit(c)) c=gc();
    while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=gc();
}
std::multiset <ll> s;
std::multiset <ll>::iterator it;
const int N=1e5+10;
int n,m;
ll hp[N],p[N],atk[N],A[N],B[N];
ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    ll tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*y;
}
ll mul(ll d,ll k,ll p)
{
    ll f=0;
    while(k)
    {
        if(k&1) (f+=d)%=p;
        (d+=d)%=p;
        k>>=1;
    }
    return f;
}
void work()
{
    ll mx=0;
    s.clear();
    read(n),read(m);
    for(int i=1;i<=n;i++) read(hp[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) read(p[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) read(atk[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        ll x;
        read(x);
        s.insert(x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ll a,b,c,x,y;
        it=s.upper_bound(hp[i]);
        if(it==s.begin())
        {
            b=*it;
            s.erase(it);
        }
        else
        {
            it--;
            b=*it;
            s.erase(it);
        }
        a=b,b=p[i],c=hp[i];
        ll d=gcd(a,b);
        if(c%d!=0)
        {
            puts("-1");
            return;
        }
        mx=max(mx,(c-1)/a+1);
        exgcd(a,b,x,y);
        x=mul(x,c/d,b/d);
        x=(x%(b/d)+b/d)%(b/d);
        A[i]=x,B[i]=b/d;
        s.insert(atk[i]);
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(A[i]==A[i-1])
        {
            B[i]=B[i]/gcd(B[i],B[i-1])*B[i-1];
            continue;
        }
        if(A[i]<A[i-1]) std::swap(A[i],A[i-1]),std::swap(B[i],B[i-1]);
        ll a=B[i-1],b=B[i],c=A[i]-A[i-1],d=gcd(a,b),x,y;
        if(c%d!=0)
        {
            puts("-1");
            return;
        }
        exgcd(a,b,x,y);
        x=mul(x,c/d,b/d);
        B[i]=a/d*b;
        A[i]=((A[i-1]+mul(x,B[i-1],B[i]))%B[i]+B[i])%B[i];
    }
    printf("%lld\n",max(A[n],mx));
}
int main()
{
    freopen("dragon.in","r",stdin);
    freopen("dragon.out","w",stdout);
    int T;read(T);
    while(T--) work();
    return 0;
}

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2019.4.30

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