例题11-8 矩阵解压（Matrix Decompressing, UVa 11082）

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题目描述

题意解析

对于一个 $R$行 $C$列的正整数矩阵 $（1≤R，C≤20）$，设 $Ai$为前 $i$行所有元素之和， $Bi$为前 $i$列所有元素之和。已知 $R,C$和数组 $A和B$，找一个满足条件的矩阵。矩阵中的元素必须是1～20之间的正整数。输入保证有解。

算法设计

参考《算法竞赛入门经典（第2版）》中的提示：

首先根据 $Ai$和 $Bi$计算出第i行的元素之和 $A'i$和第 $i$列的元素之和 $B'i$。如果把矩阵里的每个数都减1，则每个 $A'i$会减少 $C$，而每个 $B'i$会减少 $R$。这样一来，每个元素的范围变成了0～19，它的好处很快就能看到。
建立一个二分图，每行对应一个 $X$结点，每列对应一个 $Y$结点，然后增加源点 $s$和汇点 $t$。对于每个结点 $Xi$，从 $s$到 $Xi$连一条弧，容量为 $A'i-C$；从 $Yi$到 $t$连一条弧，容量为 $B'i-R$。而对于每对结点 $(Xi,Yj)$，从 $Xi$向 $Yj$连一条弧，容量为19。接下来求 $s-t$的最大流，如果所有s出和到达t都满载，说明问题有解，结点 $Xi->Yj$的流量就是格子 $(i,j)$减1之后的值。

C++代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Edge{
    int from,to,cap,flow;
    Edge(int f,int t,int c,int fl):from(f),to(t),cap(c),flow(fl){}
};
const int MAXV=55;
vector<Edge>edges;
vector<vector<int>>graph(MAXV);
int R,C,T,matrix[25][25];
void insertEdge(int from,int to,int cap){
    graph[from].push_back(edges.size());
    edges.push_back(Edge(from,to,cap,0));
    graph[to].push_back(edges.size());
    edges.push_back(Edge(to,from,0,0));
}
void MaxFlow(int s,int t){//最大流算法,s为源点,t为汇点
    int a[MAXV]={0},p[MAXV]={0};//a数组表示源点到结点a[i]的残量,p数组表示最短路树上到达结点p[i]的边在edges数组中的序号
    while(true){//广度优先遍历查找从源点到达汇点的增广路
        memset(a,0,sizeof(a));//将源点到达每个结点的残量初始化为0
        queue<int>q;
        q.push(s);
        a[s]=INT_MAX;//起点的残量置为无穷大
        while(!q.empty()){
            int x=q.front();
            q.pop();
            for(int i:graph[x]){//遍历以x为起点的边
                Edge&e=edges[i];
                if(a[e.to]==0&&e.cap>e.flow){//当前边的终点的残量为0且容量大于流量
                    p[e.to]=i;//更新到达该终点的边的编号
                    a[e.to]=min(a[x],e.cap-e.flow);//更新源点到该终点的残量
                    q.push(e.to);//压入队列
                }
            }
            if(a[t]!=0)//终点的残量不为零，跳出循环
                break;
        }
        if(a[t]==0)//终点的残量为零，表示不存在增广路了，跳出外层死循环
            break;
        for(int u=t;u!=s;u=edges[p[u]].from){//从汇点向前遍历增广路经，更新每条增广路的流量
            edges[p[u]].flow+=a[t];
            edges[p[u]^1].flow-=a[t];
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&T);
    for(int ii=1;ii<=T;++ii){
        printf("Matrix %d\n",ii);
        edges.clear();
        fill(graph.begin(),graph.end(),vector<int>());
        scanf("%d%d",&R,&C);
        int a=0,b=0;
        for(int i=1;i<=R;++i){
            scanf("%d",&a);
            insertEdge(0,i,a-b-C);
            for(int j=1;j<=C;++j){
                matrix[i][j]=edges.size();
                insertEdge(i,j+R,19);
            }
            b=a;
        }
        a=b=0;
        for(int i=1;i<=C;++i){
            scanf("%d",&a);
            insertEdge(i+R,R+C+1,a-b-R);
            b=a;
        }
        MaxFlow(0,R+C+1);
        for(int i=1;i<=R;++i){
            for(int j=1;j<=C;++j)
                printf("%d ",edges[matrix[i][j]].flow+1);
            puts("");
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}