问题描述
给定一个平面上n个点的集合，它的凸包就是包含所有这些点的最小凸多边形，求取满足此条件的所有点。
另外，形象生动的描述：
（1）我们可以把这个问题看作如何用长度最短的栅栏把n头熟睡的老虎围起来。
（2）也可以这样看：请把所讨论的点想象成钉在胶合板上的钉子，胶合板代表平面。撑开一根橡皮筋圈，把所有的钉子都围住，然后啪一声松开手。凸包就是以橡皮圈为边界的区域。具体示意如下图所示：
蛮力法
- 解题思路：
对于一个n个点集合中的两个点p1和p2，当且仅当该集合中的其它点都位于穿过这两点的直线的同一边时，它们的连线就是该集合凸包边界的一部分，简言之，p1和p2就是凸包问题中最小凸多边形的顶点。对每一对点都做一遍检验之后，满足条件的线段就构成了该凸包的边界。
代码演示：
//凸包问题:蛮力法
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <climits>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct node{
int x;
int y;
};
node p1[20],p2[20];
int a[20],m=0;
int jl;
int getConvexPoint(node p[],int n)
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(i == j)
{
continue;
}
//获取直线方程的三个系数
double a = p[i].y - p[j].y;
double b = p[j].x - p[i].x;
double c = p[i].x*p[j].y - p[i].y*p[j].x;
//标记所有坐标中与直线距离的最大值和最小值
double max=INT_MIN;
double min=INT_MAX;
for(int k = 0;k < n;k++)
{
if(k == i || k ==j)
{
continue;
}
jl = a*p[k].x + b*p[k].y + c;
if(jl > max)
{
max = jl;
}
if(jl < min)
{
min =jl;
}
}
//通过判断最大值和最小值是否同号，确定所有的坐标是否在同一方向。
if(min*max >= 0)
{
p2[m++]=p1[i];
}
}
}
return 0;
}
bool compare(node p1,node p2)
{
return p1.x < p2.x;
}
int main()
{
cout << "请输入坐标数：";
int n;
cin >> n;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin >> p1[i].x >> p1[i].y;
}
getConvexPoint(p1,n);
cout << "其中坐标有：" << endl;
sort(p2,p2+m,compare);
for(int i=0;i<m;i++)
{
if(p2[i].x==p2[i+1].x && p2[i].y==p2[i+1].y)
continue;
printf("(%d,%d) ",p2[i].x,p2[i].y);
}
cout << endl;
return 0;
}
Graham扫描法
- 解题思路：
Graham扫描的思想是先找到凸包上的一个点，然后从那个点开始按逆时针方向逐个找凸包上的点，实际上就是进行极角排序，然后对其查询使用。
观察凸包：
我们可以轻松看出向量p2p3是在p1p2的左边，向量p3p4在向量p2p3的左边。
那么如果下一个向量在上一个向量的右边呢？
由上图我们可以轻松看出，当向量p6p3在向量p2p6的右边时，p6实际上并不是凸包的顶点。
由此我们只需要满足几个条件，我们就可以得到最终的凸包顶点：
- 我们必须将平面上所有的点按照逆时针方向依次排好序，保证在遍历过程中我们能够扫描所有的点，而不会遗漏。
- 我们必须确定p1,p2。即凸包边上相邻的两个顶点。
- 判断向量p2p3是否在向量p1p2的左边。
如果满足以上条件的话，我们就可以通过遍历一个一个的把所有的凸包顶点找出来。
思路过程：
定义两个结构体数组p1[],p2[];p1[]用来存放所有坐标，p2[]用来存放凸包的顶点坐标。
- 把所有点放在二维坐标系中，则纵坐标最小的点一定是凸包上的点，如图中的P0。
- 计算各个点相对于 P0 的幅角 α ，按从小到大的顺序对各个点排序。当 α 相同时，距离 P0 比较近的排在前面。例如上图得到的结果为 P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8。我们由几何知识可以知道，结果中第一个点 P1 和最后一个点 P8 一定是凸包上的点。 （以上是准备步骤，以下开始求凸包）
- 我们已经知道了凸包上的第一个点 P0 和第二个点 P1(已经满足第1，2个条件)。
- 至于第3个条件，我们可以借助一下数学思想。（叉积）：当两个向量的叉积大于等于零时，则满足条件。反之则不满足条件。
- 通过遍历依次判断每个坐标，当向量p2p3在向量p1p2右边时（如上图所示），我们需要回溯将之前存储在p2[]中的p2点删除，并将p3添加到p2[]中。
- 就这样一直遍历下去。直到回到p0；
代码演示：
//凸包问题:扫描法
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct node{
int x;
int y;
};
node p1[1000],p2[1000];
int number = 0;
int cross(node a,node b,node c)//计算叉积，判断c在ab上还是下
{
return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y);
}
double distance(node a,node b)
{
return (a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y);
}
//排序查找第一个点
bool compare1(node a,node b)
{
if(a.y != b.y)
{
return a.y < b.y;
}
else
{
return a.x < b.x;
}
}
//根据极角排序
bool compare2(node a,node b)
{
int x = cross(p2[0],a,b);
if(x > 0)
{
return 1;
}
else if(x == 0)
{
// 当向量fa和向量ab共线时，为避免影响后面判断，将a,b按照到f的距离排序
return distance(p2[0],a) - distance(p2[0],b) <= 0;
}
else
{
return 0;
}
}
int getConvexPoint(node p[],int n)
{
for(int i=2;i<n;i++)
{
while(cross(p2[number-2],p2[number-1],p1[i])<0)
{
number--;
}
p2[number++] = p1[i];
}
return 0;
}
int main()
{
cout << "请输入坐标数：";
int n;
cin >> n;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cout << "请输入第" << i+1 << "个坐标： " ;
cin >> p1[i].x >> p1[i].y;
}
// 如果只有1-3个坐标，只需输出所有坐标，因为至少3点决定一个平面。
if(n <= 3)
{
cout << "坐标有：" << endl;
for(int i=0;i<n;i++)
{
printf("(%d,%d) ",p1[i].x,p1[i].y);
}
return 0;
}
//按照y排序，找到最下面的那个点，设为f
sort(p1,p1+n,compare1);
//p2[0]为最开始的第一个点。
p2[number++] = p1[0];
//按照极角排序。
sort(p1+1,p1+n,compare2);
p2[number++] = p1[1];
getConvexPoint(p1,n);
cout << "坐标有：" << endl;
for(int i=0;i<number;i++)
{
printf("(%d,%d) ",p2[i].x,p2[i].y);
}
cout << endl;
return 0;
}