数据结构与算法-day3-归并快速排序

我的理解

上一节的末尾我说了,冒泡插入选择这三种时间复杂度都是O(n2),只适用于小规模排序,那么,相对常用的适用于大规模的排序又是哪些呢?

归并排序和快速排序都用到了 分治思想,且代码通过递归来解决

分而治之,将大问题分解成小问题,解决完小问题大问题就也解决了

理解归并排序的重点是理解递推公式和 merge() 合并函数。
同理，理解快排的重点也是理解递推公式，还有 partition() 分区函数

归并排序算法 : 是一种在任何情况下时间复杂度都比较稳定O(nlogn)的排序算法，这也使它存在致命的缺点，即归并排序不是原地排序算法，空间复杂度比较高，是 O(n)。正因为此，它也没有快排应用广泛。

快速排序算法 : 虽然最坏情况下的时间复杂度是 O(n2)，但是平均情况下时间复杂度都是 O(nlogn)。不仅如此，快速排序算法时间复杂度退化到 O(n2) 的概率非常小，我们可以通过合理地选择 pivot 来避免这种情况。

归并排序

我们先把数组从中间分成前后两部分，然后对前后两部分分别排序，再将排好序的两部分合并在一起，这样整个数组就都有序了。

我们现在就来看看如何用递归代码来实现归并排序。

写递归代码的技巧就是，分析得出递推公式，然后找到终止条件，最后将递推公式翻译成递归代码。

所以，要想写出归并排序的代码，我们先写出归并排序的递推公式。

递推公式：
merge_sort(p…r) = merge(merge_sort(p…q), merge_sort(q+1…r))

终止条件：
p >= r 不用再继续分解

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merge_sort(p…r) 表示，给下标从 p 到 r 之间的数组排序。

我们将这个排序问题转化为了两个子问题，merge_sort(p…q) 和 merge_sort(q+1…r)，其中下标 q 等于 p 和 r 的中间位置，也就是 (p+r)/2。

当下标从 p 到 q 和从 q+1 到 r 这两个子数组都排好序之后，我们再将两个有序的子数组合并在一起，这样下标从 p 到 r 之间的数据就也排好序了。

// 归并排序算法, A 是数组，n 表示数组大小
merge_sort(A, n) {
  merge_sort_c(A, 0, n-1)
}

// 递归调用函数
merge_sort_c(A, p, r) {
  // 递归终止条件
  if p >= r  then return

  // 取 p 到 r 之间的中间位置 q
  q = (p+r) / 2
  // 分治递归
  merge_sort_c(A, p, q)
  merge_sort_c(A, q+1, r)
  // 将 A[p...q] 和 A[q+1...r] 合并为 A[p...r]
  merge(A[p...r], A[p...q], A[q+1...r])
}

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merge(A[p…r], A[p…q], A[q+1…r]) 这个函数的作用就是，将已经有序的 A[p…q] 和 A[q+1…r] 合并成一个有序的数组，并且放入 A[p…r]

那这个过程具体该如何做呢？

如图所示，我们申请一个临时数组 tmp，大小与 A[p…r] 相同。我们用两个游标 i 和 j，分别指向 A[p…q] 和 A[q+1…r] 的第一个元素。比较这两个元素 A[i] 和 A[j]，如果 A[i]<=A[j]，我们就把 A[i] 放入到临时数组 tmp，并且 i 后移一位，否则将 A[j] 放入到数组 tmp，j 后移一位。

继续上述比较过程，直到其中一个子数组中的所有数据都放入临时数组中，再把另一个数组中的数据依次加入到临时数组的末尾，这个时候，临时数组中存储的就是两个子数组合并之后的结果了。最后再把临时数组 tmp 中的数据拷贝到原数组 A[p…r] 中。

merge(A[p...r], A[p...q], A[q+1...r]) {
  var i := p，j := q+1，k := 0 // 初始化变量 i, j, k
  var tmp := new array[0...r-p] // 申请一个大小跟 A[p...r] 一样的临时数组
  while i<=q AND j<=r do {
    if A[i] <= A[j] {
      tmp[k++] = A[i++] // i++ 等于 i:=i+1
    } else {
      tmp[k++] = A[j++]
    }
  }
  
  // 判断哪个子数组中有剩余的数据
  var start := i，end := q
  if j<=r then start := j, end:=r
  
  // 将剩余的数据拷贝到临时数组 tmp
  while start <= end do {
    tmp[k++] = A[start++]
  }
  
  // 将 tmp 中的数组拷贝回 A[p...r]
  for i:=0 to r-p do {
    A[p+i] = tmp[i]
  }
}

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归并排序的性能分析

第一，归并排序是稳定的排序算法吗？

结合我前面画的那张图和归并排序的伪代码，你应该能发现，归并排序稳不稳定关键要看 merge() 函数，也就是两个有序子数组合并成一个有序数组的那部分代码。在合并的过程中，如果 A[p…q] 和 A[q+1…r] 之间有值相同的元素，那我们可以像伪代码中那样，先把 A[p…q] 中的元素放入 tmp 数组。这样就保证了值相同的元素，在合并前后的先后顺序不变。

所以，归并排序是一个稳定的排序算法。

第二，归并排序的时间复杂度是多少？

最好最坏平均都是O(nlongn)

归并排序涉及递归，时间复杂度的分析稍微有点复杂。我们正好借此机会来学习一下，如何分析递归代码的时间复杂度。在递归那一节我们讲过，递归的适用场景是，一个问题 a 可以分解为多个子问题 b、c，那求解问题 a 就可以分解为求解问题 b、c。问题 b、c 解决之后，我们再把 b、c 的结果合并成 a 的结果。

如果我们定义求解问题 a 的时间是 T(a)，求解问题 b、c 的时间分别是 T(b) 和 T( c)，那我们就可以得到这样的递推关系式：

T(a) = T(b) + T(c) + K
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其中 K 等于将两个子问题 b、c 的结果合并成问题 a 的结果所消耗的时间。

从刚刚的分析，我们可以得到一个重要的结论：不仅递归求解的问题可以写成递推公式，递归代码的时间复杂度也可以写成递推公式。 套用这个公式，我们来分析一下归并排序的时间复杂度。我们假设对 n 个元素进行归并排序需要的时间是 T(n)，那分解成两个子数组排序的时间都是 T(n/2)。我们知道，merge() 函数合并两个有序子数组的时间复杂度是 O(n)。

所以，套用前面的公式，归并排序的时间复杂度的计算公式就是：

T(1) = C； n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C。 
T(n) = 2*T(n/2) + n； n>1
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通过这个公式，如何来求解 T(n) 呢？还不够直观？那我们再进一步分解一下计算过程。

T(n) = 2*T(n/2) + n 
= 2*(2*T(n/4) + n/2) + n 
= 4*T(n/4) + 2*n = 4*(2*T(n/8) + n/4) + 2*n
= 8*T(n/8) + 3*n 
= 8*(2*T(n/16) + n/8) + 3*n 
= 16*T(n/16) + 4*n ...... 
= 2^k * T(n/2^k) + k * n ...... 
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通过这样一步一步分解推导，我们可以得到 T(n) = 2^kT(n/2^k)+kn。当 T(n/2^k)=T(1) 时，也就是 n/2^k=1，我们得到 k=log2n 。我们将 k 值代入上面的公式，得到 T(n)=Cn+nlog2n 。如果我们用大 O 标记法来表示的话，T(n) 就等于 O(nlogn)。

所以归并排序的时间复杂度是 O(nlogn)。 从我们的原理分析和伪代码可以看出，归并排序的执行效率与要排序的原始数组的有序程度无关，所以其时间复杂度是非常稳定的，不管是最好情况、最坏情况，还是平均情况，时间复杂度都是 O(nlogn)。

第三，归并排序的空间复杂度是多少？

归并排序不是原地排序算法。空间复杂度是 O(n)

这决定了归并没有快排应用广泛

这是因为归并排序的合并函数，在合并两个有序数组为一个有序数组时，需要借助额外的存储空间。实际上，递归代码的空间复杂度并不能像时间复杂度那样累加。刚刚我们忘记了最重要的一点，那就是，尽管每次合并操作都需要申请额外的内存空间，但在合并完成之后，临时开辟的内存空间就被释放掉了。在任意时刻，CPU 只会有一个函数在执行，也就只会有一个临时的内存空间在使用。临时内存空间最大也不会超过 n 个数据的大小，所以空间复杂度是 O(n)。

快速排序

快排的思想是这样的：如果要排序数组中下标从 p 到 r 之间的一组数据，我们选择 p 到 r 之间的任意一个数据作为 pivot（分区点）。

我们遍历 p 到 r 之间的数据，将小于 pivot 的放到左边，将大于 pivot 的放到右边，将 pivot 放到中间。经过这一步骤之后，数组 p 到 r 之间的数据就被分成了三个部分，前面 p 到 q-1 之间都是小于 pivot 的，中间是 pivot，后面的 q+1 到 r 之间是大于 pivot 的。

根据分治、递归的处理思想，我们可以用递归排序下标从 p 到 q-1 之间的数据和下标从 q+1 到 r 之间的数据，直到区间缩小为 1，就说明所有的数据都有序了。

如果我们用递推公式来将上面的过程写出来的话，就是这样：

递推公式：
quick_sort(p…r) = quick_sort(p…q-1) + quick_sort(q+1, r)

终止条件：
p >= r
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// 快速排序，A 是数组，n 表示数组的大小
quick_sort(A, n) {
  quick_sort_c(A, 0, n-1)
}
// 快速排序递归函数，p,r 为下标
quick_sort_c(A, p, r) {
  if p >= r then return
  
  q = partition(A, p, r) // 获取分区点
  quick_sort_c(A, p, q-1)
  quick_sort_c(A, q+1, r)
}
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归并排序中有一个 merge() 合并函数，我们这里有一个 partition() 分区函数。partition() 分区函数实际上我们前面已经讲过了，就是随机选择一个元素作为 pivot（一般情况下，可以选择 p 到 r 区间的最后一个元素），然后对 A[p…r] 分区，函数返回 pivot 的下标。如果我们不考虑空间消耗的话，partition() 分区函数可以写得非常简单。我们申请两个临时数组 X 和 Y，遍历 A[p…r]，将小于 pivot 的元素都拷贝到临时数组 X，将大于 pivot 的元素都拷贝到临时数组 Y，最后再将数组 X 和数组 Y 中数据顺序拷贝到 A[p…r]。

但是，如果按照这种思路实现的话，partition() 函数就需要很多额外的内存空间，所以快排就不是原地排序算法了。 如果我们希望快排是原地排序算法，那它的空间复杂度得是 O(1)，那 partition() 分区函数 就不能占用太多额外的内存空间,我们就需要在 A[p…r] 的原地完成分区操作。

这里的处理有点类似选择排序。我们通过游标 i 把 A[p…r-1] 分成两部分。

A[p…i-1] 的元素都是小于 pivot 的，我们暂且叫它“已处理区间”，
A[i…r-1] 是“未处理区间”。

我们每次都从未处理的区间 A[i…r-1] 中取一个元素 A[j]，与 pivot 对比，如果小于 pivot，则将其加入到已处理区间的尾部，也就是 A[i] 的位置。

数组的插入操作还记得吗？在数组某个位置插入元素，需要搬移数据，非常耗时。当时我们也讲了一种处理技巧，就是交换，在 O(1) 的时间复杂度内完成插入操作。这里我们也借助这个思想，只需要将 A[i] 与 A[j] 交换，就可以在 O(1) 时间复杂度内将 A[j] 放到下标为 i 的位置。

因为分区的过程涉及交换操作，如果数组中有两个相同的元素，比如序列 6，8，7，6，3，5，9，4，在经过第一次分区操作之后，两个 6 的相对先后顺序就会改变。所以，快速排序 并不是一个稳定的排序算法。

快速排序的性能分析快速排序的性能分析\

第一, 快速排序是稳定的排序算法吗？

是不稳定的算法,前面提到了,同样的数有可能位置会改变

第二，快速排序的空间复杂度是多少？

O(1) 通过设计巧妙的原地分区函数，可以实现原地排序，解决了****归并排序占用太多内存的问题。快排是一种原地、不稳定的排序算法

第三, 快速排序的时间复杂度

快排也是用递归来实现的。对于递归代码的时间复杂度，我前面总结的公式，这里也还是适用的。

最好时间复杂度:如果每次分区操作，都能正好把数组分成大小接近相等的两个小区间，那快排的时间复杂度递推求解公式跟归并是相同的。所以，快排的时间复杂度也是** O(nlogn)**。

T(1) = C；   n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C。
T(n) = 2*T(n/2) + n； n>1

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但是，公式成立的前提是每次分区操作，我们选择的 pivot 都很合适，正好能将大区间对等地一分为二。但实际上这种情况是很难实现的。

最坏时间复杂度:一个比较极端的例子。如果数组中的数据原来已经是有序的了，比如 1，3，5，6，8。如果我们每次选择最后一个元素作为 pivot，那每次分区得到的两个区间都是不均等的。我们需要进行大约 n 次分区操作，才能完成快排的整个过程。每次分区我们平均要扫描大约 n/2 个元素，这种情况下**，快排的时间复杂度就从 O(nlogn) 退化成了 O(n2)。**

我们刚刚讲了两个极端情况下的时间复杂度，一个是分区极其均衡，一个是分区极其不均衡。

平均时间复杂度:T(n) 在大部分情况下的时间复杂度都可以做到 O(nlogn)，只有在极端情况下，才会退化到 O(n2)。

我们假设每次分区操作都将区间分成大小为 9:1 的两个小区间。我们继续套用递归时间复杂度的递推公式，就会变成这样：

T(1) = C；   n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C。
T(n) = T(n/10) + T(9*n/10) + n； n>1
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这个公式的递推求解的过程非常复杂，虽然可以求解，但我不推荐用这种方法。而且，我们也有很多方法将这个概率降到很低，如何来做？我们后面再讲。

快排与归并的区别?

现在，我再来看另外一个问题：快排和归并用的都是分治思想，递推公式和递归代码也非常相似，那它们的区别在哪里呢？ q

可以发现，归并排序的处理过程是由下到上的，先处理子问题，然后再合并。
而快排正好相反，它的处理过程是由上到下的，先分区，然后再处理子问题。

归并排序虽然是稳定的、时间复杂度为 O(nlogn) 的排序算法，但是它是非原地排序算法。我们前面讲过，归并之所以是非原地排序算法，主要原因是合并函数无法在原地执行。

快速排序通过设计巧妙的原地分区函数，可以实现原地排序，解决了****归并排序占用太多内存的问题。

如何在 O(n) 的时间复杂度内查找一个无序数组中的第 K 大元素.

我们可以利用分区的思想，来解答开篇的问题：O(n) 时间复杂度内求无序数组中的第 K 大元素。比如，4， 2， 5， 12， 3 这样一组数据，第 3 大元素就是 4。

我们选择数组区间 A[0…n-1] 的最后一个元素 A[n-1] 作为 pivot，对数组 A[0…n-1] 原地分区，这样数组就分成了三部分，A[0…p-1]、A[p]、A[p+1…n-1]。

如果 p+1=K，那 A[p] 就是要求解的元素；如果 K>p+1, 说明第 K 大元素出现在 A[p+1…n-1] 区间，我们再按照上面的思路递归地在 A[p+1…n-1] 这个区间内查找。同理，如果 K<p+1，那我们就在 A[0…p-1] 区间查找。

我们再来看，为什么上述解决思路的时间复杂度是 O(n)？

第一次分区查找，我们需要对**大小为 n **的数组执行分区操作，需要遍历 n 个元素。
第二次分区查找，我们只需要对大小为 n/2 的数组执行分区操作，需要遍历 n/2 个元素。
依次类推，分区遍历元素的个数分别为、n/2、n/4、n/8、n/16.……直到区间缩小为 1。如果我们把每次分区遍历的元素个数加起来，就是：n+n/2+n/4+n/8+…+1。这是一个等比数列求和，最后的和等于 2n-1。

所以，上述解决思路的时间复杂度就为 O(n)。