2019.3.26HDOJ-2028求最小公倍数的思考，辗转相除法的证明

这道题当时盯着看了十分钟也没有一点头绪，还是我太菜了，于是上网寻找求最小公倍数方法

题目

Problem-2028
Problem Description
求n个数的最小公倍数。

Input
输入包含多个测试实例，每个测试实例的开始是一个正整数n，然后是n个正整数。

Output
为每组测试数据输出它们的最小公倍数，每个测试实例的输出占一行。你可以假设最后的输出是一个32位的整数。

Sample Input
2 4 6
3 2 5 7

Sample Output
12
70

方法

查阅WIKI百科可知，最小公倍数=两个整数的/这两个数的最大公因数
https://zh.wikipedia.org/wiki/最小公倍數#与最大公因数之关系
这个公式我还没搞明白……
先求最大公因数，可以使用辗转相除法或更相减损术来求。
http://www.cnblogs.com/santiego/p/9568208.html

辗转相除法的证明

为什么除数和余数的最大公约数就是被除数和除数的最大公约数?
试证：被除数A与除数B，且A>B，和它们的余数R的最大公约数相同
证明：由题意可设， $A=qB+R（q∈N+），0<R<B$
设 $A$ ， $B$ 最大公约数为 $d$ ，记为 $d=(A,B)$
先证d为B与R的公因数
设 $m,n∈N+$ ，使 $A=md,B=nd$
$R=A-qB=md-qnd=d(m-qn)$
∴ $R$ 能被 $d$ 整除，即 $d$ 为 $R$ 的因数
再证 $d$ 为 $B$ 和 $R$ 的最大公因数，即证 $d=(B,R)$
反证法：假设存在 $D$ ，使 $(B,R)=D>d$
$∵A=qB+R$
$∴$ D能整除 $A$ 且 $D$ 能整除 $B$
$∴D$ 能整除 $(A,B)=d$
推出 $D≤d$ ，与假设矛盾
$∴$ 不存在 $(B,R)=D>d$
即 $d$ 为 $B$ 和 $R$ 的最大公因数
$∴(A,B)=(B,R)=d$
可以看出该性质可以传递
$(A,B)=(B,A\%B)=(A\%B,B\%(A\%B))=…=(d,0)$
所以当最后余数为0时，除数即为最大公约数 $d$
给出 $A>B$ ，求最大公因数，可以得递推公式
$f(A,B)= \begin{cases} A & B = 0 \\ f(B,A\%B)& B>0 \end{cases}$

证明最小公倍数=两数之积/最大公约数

（这部分思路参考了一位数学系的同学，他跟我说不知道咋证就显然）
设 $d=(A,B),M$ 为 $A，B$ 最小公倍数，记 $M=[A,B]$
令 $A=md,B=nd,$ 且 $m,n∈N+$
存在 $M=pA=qB ,且p,q∈N+，(p,q)=1$
$∵M$ 能被 $A=md$ 整除， $M$ 能被 $B=nd$ 整除， $(m,n)=1$
显然 $mnd$ 为 $A,B$ 公倍数，设 $N$ 为 $A,B$ 的任一公倍数
则 $mnd$ 一定能整除 $N$ ，推得 $mnd$ 为 $A$ 与 $B$ 的最小公倍数
$∴[A,B]=mnd= (A*B)/d$

代码

#include<stdio.h>
long long gcd(long long a,long long b);
long long lcm(long long a,long long b);
int main(void)
{
	int n;
	long long next;
	while(scanf("%d",&n)==1){
		long long commul=1;
		while(n-->0){
			scanf("%lld",&next);
			commul=lcm(commul,next);
		}
		printf("%lld\n",commul);
	}
	return 0;
}
long long gcd(long long a,long long b)//返回a,b最大公约数 
{
	long long r;
	if(a<b){
		r=b;
		b=a;
		a=r;
	}
	while((r=a%b)!=0){
		a=b;
		b=r;
	}
	return b;
}
long long lcm(long long a,long long b)//返回a,b的最小公倍数 
{
	long long multi=a*b;
	return multi/gcd(a,b);
}

按照题目的意思，进行乘法运算一定会溢出。
之前两次使用强制转换怎么改还是WA，一怒之下全部换成了long long，终于AC了

Run ID	Submit Time	Judge Status	Pro.ID	Exe.Time	Exe.Memory	Code Len.	Language	Author
28719269	2019-03-27 18:40:05	Accepted	2028	15MS	1692K	608 B	C	Overstars
28719245	2019-03-27 18:38:24	Wrong Answer	2028	0MS	1696K	588 B	C	Overstars
28719220	2019-03-27 18:36:12	Wrong Answer	2028	31MS	1700K	514 B	C	Overstars

也不知道这道题花了这么多时间值不值。
好了，今天晚上去图书馆把DP入个门……
大物也得稍微自学下……

2019年3月27日18点44分