十分钟了解算法（0）——初始算法

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一：算法的定义

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且毎条指令表示一个或多个操作。

二：算法的特性

1. 输入（可以没有）
2. 输出（至少一个）
3. 有穷性
4. 确定性
5. 可行性

三：算法的要求

1. 正确性：算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、 能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。
2. 可读性：便于阅读、理解和交流。
3. 健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名
   其妙的结果。
4. 时间效率髙和存储量低

四：算法的度量方法

• 事后统计方法：这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的髙低。
• 事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算，通过算法时间复杂度来估算算法时间效率。

五：运行时间

一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模。

• 确定输入模型，也就是算法执行的输入参数
• 识别内循环，确定算法执行的循环次数
• 根据内循环中的操作，确定成本模型，也就是内循环的操作次数
• 对于给定的输人，计算操作的执行频率。

1：算法的时间复杂度（一般都是最坏时间复杂度）

定义：在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T ( n）随n的变化情况，并确定T (n)的数量级。

记做：T (n) = O(f(n))

特点：一般情况下，随着n的増大，T(n)増长最慢的算法为最优算法。

推导：

1. 计算最坏情况下的操作数。如果算法需要操作n次，每次需要进行m个操作，则算法的速度为O(n*m)
2. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
3. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
4. 如果最高阶项存在且不是1,则去掉与这个项相乘的常数。 在比较算法时，如果两种算法的大O运行时间不同，则大O里的常量无关紧要。

常见：

• 常数阶 O(1)：与问题的大小无关(n的多少)，执行时间恒定（普通语句）
• 对数阶 O(logn)：循环体中的代码执行2ⁿ次（二分策略）
• 线性阶 O(n)：循环体中的代码执行常数次（单层循环）
• 线性对数阶 O(nlogn)：循环体中的代码执行nlogn次（分治）
• 平方阶 O(n²)：嵌套两层循环的代码（双层循环）
• 立方阶 O(n³)：嵌套三层循环的代码（三层循环）
• 指数阶 O(2ⁿ)：循环体中的代码需要执行2ⁿ次（枚举查找）
• 阶层阶 O(n!)：嵌套循环的代码需要执行n!次的算法。

比较：

O(1 )< O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ )<O(n！)< O(nⁿ)

2：算法的空间复杂度

定义：算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现。一般情况下，一个程序在机器上执行时，除了需要存储程序本身的指令、常数、变量和输入数据外，还需要存储对数据操作的存储单元。

记做：S(n)= O(f(n))