AC自动机：多模式匹配

版权声明：欢迎评论交流，转载请注明原作者。 https://blog.csdn.net/m0_37809890/article/details/89196518

参考资料
2018XJTU小学期课程day9-字符串_zbh

前置知识
KMP算法：单模式匹配
Trie树

多模式匹配：给定多个模式串，查询一个文本串中是否存在每个模式串。

自动机
自动机是一个五元组，包括

1. 状态集合 $D$
2. 符号表 $\Sigma$
3. 开始状态 $S\in D$
4. 结束状态集合 $T\subseteq D$
5. 转移函数 $\delta$，例如 $\delta(Q,a)=P$表示状态 $Q$通过符号 $a$到达状态 $P$.

自动机实际上是一张有向图，以下默认节点0为开始状态，边缘加粗的节点为结束状态。

对于给定的串 $S$，从开始状态出发，沿边上对应的字符前进，如果最后处于结束状态，称为该自动机接收字符串 $S$，否则称为拒绝 $S$.

单模式匹配自动机的构建
状态集合：自动机状态 $i$表示已经匹配了前i个字符，最后一个状态是结束状态。
符号表：字符串的符号表
转移构造：

1. 对于状态 $i$，符号 $a$，若 $s[i+1]=a$,则 $\delta(i,a)=i+1$;
2. 否则， $j$从 $i$开始，不断令 $j=fail[j-1]$，直到 $s[j]=a$，此时 $\delta(i,a)=j+1$。
3. 若最后 $j=0$且 $s[j]!=a$，则 $\delta(i,a)=0$.
4. 在实际应用中，往往要找到文本中的所有模式串，所以结束状态也要加上转移。

举例子：为字符串ababb构建单模式匹配自动机

多模式匹配自动机（AC自动机）的构建
状态集合：将模式串集合构建成一棵Trie树，Trie树的节点集就是自动机的状态集。