ARC 067
F - Yakiniku Restaurants
题意
\(n\) 家饭店，\(m\) 张餐票，第 \(i\) 家和第 \(i+1\) 家饭店之间的距离是 \(A_i\) ，在第 \(i\) 家饭店用掉第 \(j\) 张餐票会获得 \(B_{i, j}\) 的好感度，可以从任意一个饭店出发，求好感度减经过的距离和的差的最大值。
\(2 \le n \le 5000, 1 \le m \le 200, 1 \le A_{i, j}, B_{i, j} \le 10^9\)
题解
做题千万条，看题第一条。
显然我们不会走回头路，那么每次我们选择的一定是一段连续区间 \([l, r]\) 。
考虑每个 \(B_{i, j}\) 对于哪些区间有贡献，找到左右第一个比它的 \(B_{x, j}, B_{y, j} \ge B_{i, j}\) ，那么它贡献的区间其实就是 \(l \in (x, i], r \in [i, y)\) 。
我们利用单调栈算出端点，然后矩形加利用二维差分实现即可。
\(\mathcal O(n^2 + nm)\)
代码
ARC 068
F - Solitaire
题意
有一个双端队列。
首先将 \(n\) 个数 \(1\sim n\) 从小到大任意前后地添入队列。然后任意前后地弹出队列，求最后弹出来的排列中，第 \(k\) 个数为 \(1\) 的排列有多少种。
\(1 \le k \le n \le 2000\)
题解
一开始添完的序列性质显然是将 \(1\) 分成两段，左边递减，右边递增。
由于构造合法序列是左右弹元素，那么性质就比较好推了。
- 第 \(k\) 个数为 \(1\) ；
- 前 \(k - 1\) 个数可拆分为至多两个下降子序列；
- 前 \(k - 1\) 个数的最小值一定大于后 \(n - k\) 个数的最大值。
先考虑最后 \(n - k\) 个数的方案，如果我们确定了前 \(k\) 个数，那么剩下的 \(n - k\) 个数是由一个单调队列弹出来的，除了最后一次只能弹一个，别的每次都有两种选择，所以方案是 \(2^{\max(0, n - k - 1)}\) 。
然后前面拆分成至多两个下降子序列，这个和 这道题 是一样的。
我们现在只需要满足第一个限制了，由于第 \(k\) 个数是需要最小值，用至多选 \(k\) 个和 \(k - 1\) 个差分一下即可。
然后利用之前那个题的组合数结论就可以做到 \(\mathcal O(n)\) 了。
其实那个组合数有个更优美的形式，也就是 \(\displaystyle {n + m \choose m} - {n + m \choose m - 1}\) ，意义明显许多。