【位运算】位运算入门

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恶心至极

位运算入门

整数的存储

short y=-25;

原码就是这个数字原始的二进制形式，只不过最高位表示符号。
1000 0000 0001 1001
反码：将原码除符号位外其余的按位取反
1111 1111 1110 0110
补码：反码加 $1$
1111 1111 1110 0111
有符号类型使用补码表示法存储整数，正数和 $0$用原码，负数用补码。
有符号类型的最左边的二进制位是符号位。
$n$位有符号类型的表示范围是 $[-2^{n-1},2^{n-1}-1]$，可以看作是模 $2^n$意义下的数。

位运算

与 &

&的意思是与（都是 $1$才取 $1$）。

• $0,1$与 $1$等于它本身， $0,1$与 $0$等于 $0$。
• $x$为奇数时， $x\&1=1$； $x$为偶数时， $x\&1=0$。

或 |

|的意思是或（只要有 $1$就取 $1$）。

• $0,1$或 $1$等于 $1$， $0,1$与 $0$等于它本身。

异或 ^

^的意思是异或（同为0，异为1）。

• $0,1$异或 $1$等于本身取反， $0,1$异或 $0$等于它本身。
• $x\land 1$将偶数的最后一位强制变为 $1$，也就是变为与它相邻的奇数；将奇数的最后一位强制变为 $0$，也就是变为与它相邻的偶数。

取反 ~

~的意思是取反。
$\sim x=-x-1$

移位 << >>

x<<y把 $x$的每个二进制位向左移动 $y$位，移动造成的最右边的空位由 $0$补足，最左边的数溢出。
x>>y把 $x$的每个二进制位向右移动 $y$位，移动造成的最左边的空位由 $0$补足，最右边的数溢出。
有符号类型右移，最左边补符号位。

优先级

~比乘、除、取模的优先级高。
<<,>>比比较运算优先级高，比加减优先级低。
&,^,|优先级由高到低，比比较运算优先级低，比逻辑运算优先级高。
c++有四大类运算符：

• 单目运算符（-a,~a,!a,++a,--a,&a,*a;a++,a--,a.x,a->x,a(x),a::x）
• 双目运算符（*,/,%;+,-;<<,>>;<,>,<=,>=;!=,==;&,^,|;&&,||）
• 三目运算符
• 赋值运算符

四个大类的优先级由高到低。

综合应用

变换操作

针对 $x$二进制的第 $i$位（从第 $0$位开始）

• 获取，得到 $0$或 $1$： $x&gt;&gt;i\&amp;1$
• 获取，得到 $2^i$： $x\&amp;1&lt;&lt;i$
• $i=0$时判断奇偶： $x\&amp;1$
• 取反： $x\land 1&lt;&lt;i$
• 置为 $1$： $x|1&lt;&lt;i$
• 置为 $0$： $x\&amp;\sim(1&lt;&lt;i)$

针对 $x$二进制的前 $i$位（不包括第 $i$位）

• 获取： $x\&amp;(1&lt;&lt;i)-1$
• 取反： $x\land(1&lt;&lt;i)-1$
• 置为 $1$： $x|(1&lt;&lt;i)-1$
• 置为 $0$： $x\&amp;\sim((1&lt;&lt;i)-1)$

把 $x$二进制低位的连续的 $0$都变成 $1$： $x|x-1$
把 $x$二进制低位的连续的 $1$都变成 $0$： $x\&amp;x+1$

大小写转换

• 大写变小写，小写变大写： $ch\land=32$
• 全部变小写： $ch|=32$
• 全部变大写： $ch\&amp;=-33$

常用操作

• 代替乘除模
  $x\times2^i=x&lt;&lt;i\\x\div2^i=x&gt;&gt;i\\x\mod2^i=x\&amp;(1&lt;&lt;i)-1$其中除法无论正负都是向下取整，负数取模会得到非负的结果。
• 找右起第一个 $1$： $lowbit(x)=x\&amp;-x$
  $x-lowbit(x)$相当于把 $x$的右起第一个 $1$减掉
• 枚举除了空集以外的 $S$的所有子集 $T$

int S;
for(int T=S;T;T=S&T-1);

• 交换正整数

void swap1(int&a,int&b){a=a^b,b=a^b,a=a^b;}
void swap2(int&a,int&b){a=a+b,b=a-b,a=a-b;}

• 构造常数
  unsigned int的上限：~0u,-1u,0xffffffff
int的上限：~0u>>1,-1u>>1,0x7fffffff
int的下限：1<<31，0x80000000
long long的上限：0ull>>1,-1ull>>1,0x7fffffffffffffff
long long的下限：1ll<<63,0x8000000000000000

加与异或（NKOJ 3672）

问题描述
给出两个整数 $A$和 $B$，求 一个解 $x,y$使得
$x+y=A,x\land y=B$
若有多解求 $x$最小的一个，题目保证有解！

输入格式
两个整数 $A$和 $B$。

输出格式
两个整数，分别表示 $x$和 $y$。

样例输入
142 76

样例输出
33 109

提示
$0\leqslant A,B\leqslant 100,000,000,000,000$

考虑把 $x+y$用位运算表示。
$x+y=x\land y+2(x\&amp;y)$

其中 $x\land y$统计 $x,y$的二进制位上一个为 $0$、一个为 $1$的位置的和（相加为 $1$）； $x\&amp;y$统计 $x,y$的二进制位上都为 $1$的位置和，乘以 $2$（相当于左移）表示进位。
转换后得到
$x\&amp;y=\frac{x+y-x\land y}2$

$\because y\leqslant x\&amp;y$， $\therefore y=x\&amp;y$时， $x$最小，此时 $\begin{cases}x=A-B&gt;&gt;1\\y=A+B&gt;&gt;1\end{cases}$

long long a,b;
int main(){
	read(&a,&b);
	write(a-b>>1," ",a+b>>1,"\n");
	return 0;
}

完备性

假设现在需要一种位运算 $\otimes$，满足 $\begin{cases}0\otimes 0=a\\0\otimes 1=b\\1\otimes 0=c\\1\otimes 1=d\end{cases}$
其中 $a,b,c,d$是 $0$或者 $1$。
任意一组 $a,b,c,d$的值，能不能将表达式 $x\otimes y$用 $x,y$以及位运算组成的表达式来代替？
答案1： $x\otimes y=(\sim x\&amp;\sim y\&amp; a)|(\sim x\&amp; y\&amp; b)|(x\&amp;\sim y\&amp; c)|(x\&amp; y\&amp; d)$
答案2： $x\otimes y=(x|y|a)\&amp;(x|\sim y|b)\&amp;(\sim x|y|c)\&amp;(\sim x|\sim y|d)$

$x_0,x_1,\dots,x_{n-1}$都是 $01$变量， $f(x_0,x_1,\dots,x_{n-1})$是一个函数，函数的输出也是 $0$或 $1$，对于任意的 $n$和任意的函数 $f$，都可以写出位运算表达式， 表达式中只包含某些位运算，那么称这些位运算具有完备性。
~,&,|三种运算具有完备性。
$x|y=\sim(\sim x\&amp;\sim y)\Rightarrow$ ~和&两种运算具有完备性。
$x\&amp; y=\sim(\sim x|\sim y)\Rightarrow$ ~和|两种运算具有完备性。

与非 ↑

$x\uparrow y=\sim(x\&amp;y)$
$\left.\begin{array}{l} \sim x=\sim(x\&amp;x)=x\uparrow x\\ x\&amp;y=\sim(x\uparrow y)=(x\uparrow y)\uparrow (x\uparrow y) \end{array}\right\}\Rightarrow$与非运算具有完备性。

或非 ↓

$x\downarrow y=\sim(x|y)$
$\left.\begin{array}{l} \sim x=\sim (x|x)=x\downarrow x\\ x|y=\sim(x\downarrow y)=(x\downarrow y)\downarrow (x\downarrow y) \end{array}\right\}\Rightarrow$或非运算具有完备性。