二叉树

基本概念

定义：

二叉树是n（n>=0）个结点的有限集合，该集合或者为空集，或者由一个结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

特点：

1、每个结点最多有两棵子树，可以没有或者有一颗

2、左子树和右子树有区别，顺序不可颠倒

3、即使只有一棵子树也需要区分左右

特殊的二叉树：

斜树：所有结点只有左子树，称为左斜树；右斜树同理；

满二叉树：所有分支结点都有左子树和右子树，且所有的叶子均在同一层上

完全二叉树：对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，编号为i的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在树中位置完全相同

完全二叉树性质：

1.叶子结点只能出现在最下两层

2.最下层的叶子一定集中在左部连续位置

3.到数第二层若有叶子结点一定都在右部连续位置

4.若结点的度为1，该结点只有左孩子

5.同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小

二叉树性质：

1.在二叉树上的第i层最多有2^(i-1)个结点（i>=1）

2.深度为k的二叉树至多有(2^k)-1个结点（k>=1）

3.对任意一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2，则有n0 = n2 +1

4.具有n个结点的完全二叉树的深度为k，有2^(k-1) = n

5.如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，对任一结点i(1<=i<=n)有：
（1）如果i=1，则该节点为二叉树的根，无双亲；若i>1，则其双亲为【i/2】取整

（2）如果2i>n,则结点i无左孩子，否则其左孩子结点为2i

（3）如果2i+1>n,则结点i无右孩子，否则其右孩子结点为2i+1

存储结构

一、顺序存储结构

对于完全二叉树而言，其序号与结点的逻辑关系是根据层序关系给定的，即用一维数组可完全代表完全二叉树的结构。但是对于一般二叉树，层序编号不能反映逻辑关系，可把不存在的结点补全，按完全二叉树的方式存储，在不存在的结点设置为空，但是这样对空间的浪费过多。故顺序存储结构一般只用于完全二叉树。

二、二叉链表

二叉树的每个结点最多有两个孩子，所以为他们设计一个数据域与两个指针域，指针分别指向左孩子和右孩子。如果需要可以增添一个指向双亲的指针。

结构定义

typedef struct BiTNode
{
    TElemType data;        //数据域
    struct BiTNode *lchild,*rchild;    //左右孩子指针
}BiTNode,*BiTree;

遍历二叉树

二叉树的遍历是指从根节点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使每一个结点被访问一次且仅被访问一次

二叉树的定义即是用递归的方式，所以遍历也可以用递归的方式实现。

前序遍历

若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树

如下的树，前序遍历的顺序为ABDGHCEIF

前序遍历算法

void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T == NULL)
        return;
    std::cout<< T->data;            //显示结点数据
    PreOrderTraverse(T->lchild);    //遍历左子树
    PreOrderTraverse(T->rchild);    //遍历右子树
}

中序遍历

若二叉树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（并不访问），中序遍历左子树，然后访问根节点，再中序遍历右子树

如下的树，中序遍历的顺序为GDHBAEICF

中序遍历算法

void InOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T == NULL)
        return;
    InOrderTraverse(T->lchild);    //中序遍历左子树
    std::cout<< T->data;            //显示结点数据
    InOrderTraverse(T->rchild);    //中序遍历右子树
}

后序遍历

若二叉树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后访问根结点

如下的树，后序遍历GHDBIEFCA

后序遍历算法

void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T == NULL)
        return;
    PostOrderTraverse(T->lchild);    //中序遍历左子树
    PostOrderTraverse(T->rchild);    //中序遍历右子树
    std::cout<< T->data;            //显示结点数据
}

层序遍历

若二叉树为空，则空操作返回，否则从树的第一层，根节点开始，从上向下，从左到右逐个结点访问

如下的树，层序遍历ABCDEFGHI

遍历结果推导

已知前序和中序遍历顺序，可唯一确定一棵二叉树

已知后序和中序遍历顺序，可唯一确定一棵二叉树

但是已知前序和后序，不可以唯一确定一棵二叉树

推导流程：

1.确定根节点

2.确定根节点的左右子节点

3.依次确定剩下的叶子

例：

后序：BDCAFGE

中序：ABCDEFG

解：

1.后序知根为E

2.中序知左子树有BDCA 右子树有FG

3.后序知 A为E的左孩子，G是E的右孩子

4.中序知 BCD为A的右子孙，F为G的左孩子

5.在依次分析可知，B为C的左孩子，D为C的右孩子，C为A的右孩子

故前序遍历为EACBDGF

二叉树建立

根据字符建立二叉树，字符为二叉树的遍历方式。例如设二叉树的前序遍历为ABDC,但是为了方便，我们将其扩展为完全二叉树，例如AB#D##C##。然后将这个字符输入构建二叉树，算法如下

void CreatBiTree(BiTree *T)
{
    TElemType ch;
    std::cin>>ch;
    if(ch == '#')
        *T = NULL;
    else
    {
        *T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        if(!*T)
            exit(OVERFLOW);
        (*T)->data = ch;    //生成根结点
        CreateBiTree(&(*T)->lchild);    //构造左子树
        CreateBiTree(&(*T)->rchild);    //构造右子树
    }
}

如上可见建立二叉树同样是运用了递归的原理，只是将原本的打印换成了生成，同理，修改生成的代码可以满足其他遍历输入构建二叉树

数据结构【第八天】：树（二）

二叉树