合同变换为什么是一个行变换再跟一个相应的列变换？

01 为什么合同变换总是一对一对的？

定义两个 $n$ 阶方阵 $A$ 和 $B$ 满足关系： $B=C^TAC$ ，其中 $C$ 是可逆矩阵，则称 $A$ 和 $B$ 合同。

在用合同变换计算二次型 $X^TAX$ 的标准形时，要求对分块矩阵 $\begin{pmatrix} A\\E \end{pmatrix}$ 每进行一个行变换时都要接着做一个相应的列变换，为什么是这样呢？

原因很简单，合同的定义 $B=C^TAC$ 中，矩阵乘积 $C^TA$ 解释为对矩阵 $A$ 作一系列行变换，而矩阵乘积 $AC$ 解释为对 $A$ 作一系列相应的列变换。合起来 $C^TAC$ 就是对 $A$ 进行一系列的行变换和一系列相应的列变换后可以得到 $B$ 。

02 详细解释

当 $C$ 为初等矩阵时，容易看出合同变换中行变换和列变换的相应性。下面以三阶矩阵为例，进行具体说明。初等矩阵有三种：（1）交换两行（列）；（2）将某行（列）乘以非0实数 $k$ ；（3）将某一行（列）的 $k$ 倍加至另一行（列）。

例1 设 $C=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $A=\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ .
$C^TAC=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} d & e & f\\ a & b & c \\ g & h & i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}(左乘的结果等于交换1、2行)\\ =\begin{pmatrix} e & d & f\\ b & a & c \\ h & g & i \end{pmatrix}(交换1、2列)$

例2 设 $C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $A=\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ .
$C^TAC =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\\\ = \begin{pmatrix} a & b & c\\ kd & ke & kf \\ g & h & i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\\\ =\begin{pmatrix} a & kb & c\\ kd & k^2e & kf \\ g & kh & i \end{pmatrix}$

聪明的读者，你能自己写出第三种情形吗？

03 最后结果中D和C的含义

算法： $\begin{pmatrix} A\\E \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}D \\C \end{pmatrix}$ ，用合同变换将 $A$ 变成对角阵 $D$ 时， $E$ 就变成非退化线性替换矩阵 $C$ 。

由于对 $A$ 作的是一个完整的合同变换，所以对角矩阵 $D$ 与 $A$ 合同，也就是说 $D$ 是原二次型的标准形的矩阵。而 $C$ 只记录了所有的列变换，所以 $C$ 就是将原二次型 $X^TAX$ 化为新二次型 $Y^TDY$ 的非退化线性替换矩阵。用公式表示为：

$X^TAX\xlongequal[]{X=CY}Y^TDY$

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