【贪心+线段树维护DP】AGC001F Train Service Planning

【题目】
Atcoder
题目有点复杂。

有 $n+1$ 个车站编号为 $0\sim n$ ，以及 $n$ 条轨道连接第 $i-1$ 和第 $i$ 个车站，通过它要花费 $a_i$ 的时间。同时轨道可能是单向或双向的，双向可以同时允许两个方向列车行驶，单向在一个时间只允许一辆车在上面运行（没有车时可以改变方向）

现在要求运行从 $0$ 到 $n$ 的列车和从 $n$ 到 $0$ 的列车，满足（以下以前者为栗）：

如果它在 $t$ 时刻离开第 $i-1$ 个站台，则会在第 $t+a_i$ 的时刻到达 $i$ 站台。
如果它在 $s$ 时刻到达 $i$ 站台并在 $t$ 时刻离开，那么下一列车会在 $s+K$ 时刻到达 $i$ 站台并在 $t+K$ 时刻离开。（即以 $K$ 为一次循环。
任意时刻不能有两辆相向而行的列车在单向轨道内互相穿过。

最小化两个方向的火车从起点到终点的时间和。
$n\leq 10^5,K,a_i\leq 10^9$

【解题思路】
一看就很神的一道题。
首先我们就没什么思路，不妨考虑将所有的限制条件先写出来：

设 $q_i$ 为正向每站等待时间， $p_i$ 为逆向，由于整个过程都是可以放在模 $K$ 意义下去做：
$tim_1=\sum_{i=0}^{n-1}q_i+a_i,tim_2=\sum_{i=0}^{n-1}-(p_i+a_i)$
走到一个点 $j$ 的时间就是：
$tim_{1,j}=\sum_{i=0}^{j-1}q_i+a_i,tim_{2,j}=\sum_{i=0}^{j-1}-(p_i+a_i)$
于是对于一个 $j-1\rightarrow j$ 的轨道限制，其运行区间就是：
$[q_{j-1}+(\sum_{i=0}^{j-2}q_i+a_i) , \sum_{i=0}^{j-1}q_i+a_i]$
逆向同理。

上面这个放在模 $K$ 意义下后变成前缀和取负的操作十分需要体会。总之我们对上面的限制进行整理与化简，大概是将一个端点不能在另一个区间里作为一条不等式，这样会有两条不等式四个不等号，最终我们可以得到：
$\sum_{i=0}^j (p_i+q_i)\notin [-2\cdot s_j,-2\cdot (s_j-a_j)]$
其中 $s$ 为 $a$ 的前缀和，这个东西无解的条件就是 $2\cdot a_i\ge K$ 。

我们最后要求的实际上是最小化 $\sum q +\sum p+2\cdot \sum a$ ，那么只用最小化前两个就行了，当然在这里因为柿子只与和有关，它们可以看作一个值。

有了上面的不等式，再由于我们是在模 $K$ 意义下，可以把前一段补到后面去，我们的问题就变成了给定 $n$ 个区间，任选起点，走 $n$ 步，第 $i$ 步需要落在第 $i$ 个区间中，求最小总路径长度。
即形如：
$S_i\in [l_i,r_i]$
然后使得 $S_{n-1}-S_0$ 最小。

观察到每次到下一个区间的限制，我们要么留在原地不动，要么走到下一个区间的左端点位置，而如果我们走到了一个左端点，接下来的路径是一定的。不妨倒着维护这个过程，定义 $f_i$ 表示对于当前区间 $[l_i,r_i]$ 的左端点 $l_i$ 而言，往后走到第 $n-1$ 个区间的最小长度。假设当前我们做完了第 $i$ 个区间，我们可以将 $[l_i,r_i]$ 这段区间的补集覆盖成 $i$ 。推 $f_i$ 时，假设 $l_i$ 位置上有一个值 $j$ ，说明编号在 $[i,j-1]$ 中的所有区间都覆盖了这个点，那么我们可以原地不动直到第 $j$ 个区间，此时我们再移动过去即可，转移就是 $f_i=f_j+dis(l_i,l_j)$

最后枚举起点算一下答案即可，复杂度 $O(n\log n)$ ，当然需要离散化辣。

【参考代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=3e5+10;
int n,K,cnt;
int a[N],b[N],c[N<<1],l[N],r[N];
ll ans,s[N],f[N];

int read()
{
	int ret=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)) c=getchar();
	while(isdigit(c)) ret=ret*10+(c^48),c=getchar();
	return ret;
}

struct Segment
{
#define ls (x<<1)
#define rs (x<<1|1)
	int col[N<<2],tar[N<<2];
	void pushdown(int x)
	{
		if(!tar[x]) return;
		col[ls]=col[rs]=tar[ls]=tar[rs]=tar[x];tar[x]=0;
	}
	void update(int x,int l,int r,int L,int R,int v)
	{
		if(L>R) return;
		if(L<=l && r<=R){col[x]=tar[x]=v;return;}
		pushdown(x);
		int mid=(l+r)>>1;
		if(L<=mid) update(ls,l,mid,L,R,v);
		if(R>mid) update(rs,mid+1,r,L,R,v);
	}
	int querycol(int x,int l,int r,int p)
	{
		if(l==r) return col[x];
		pushdown(x);
		int mid=(l+r)>>1;
		if(p<=mid) return querycol(ls,l,mid,p);
		else return querycol(rs,mid+1,r,p);
	}
	ll query(int x)
	{
		int pos=querycol(1,1,cnt,x);
		return pos?f[pos]+(c[l[pos]]-c[x]+K)%K:0;
	}
#undef ls
#undef rs
}tr;

int main()
{
#ifdef Durant_Lee
	freopen("AGC011F.in","r",stdin);
	freopen("AGC011F.out","w",stdout);
#endif
	n=read();K=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		a[i]=read();b[i]=read();s[i]=s[i-1]+a[i];
		if(b[i]&1) l[i]=(K-s[i-1]*2%K)%K,r[i]=(K-s[i]*2%K)%K;
		else l[i]=0,r[i]=K-1;
		if(b[i]&1 && a[i]*2>K){puts("-1");return 0;}
		c[++cnt]=l[i];c[++cnt]=r[i];
	}
	sort(c+1,c+cnt+1);cnt=unique(c+1,c+cnt+1)-c-1;
	for(int i=1;i<=n;++i) l[i]=lower_bound(c+1,c+cnt+1,l[i])-c,r[i]=lower_bound(c+1,c+cnt+1,r[i])-c;
	for(int i=n;i;--i)
	{
		f[i]=tr.query(l[i]);
		if(l[i]>r[i]) tr.update(1,1,cnt,r[i]+1,l[i]-1,i);
		else tr.update(1,1,cnt,1,l[i]-1,i),tr.update(1,1,cnt,r[i]+1,cnt,i);
	}
	ans=f[1];
	for(int i=cnt;i;--i) ans=min(ans,tr.query(i));
	printf("%lld\n",ans+2*s[n]);
	return 0;
}

【贪心+线段树维护DP】AGC001F Train Service Planning

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